《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

(2023·河南中考) 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯. 下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答.
(1) 观察发现
如图①，在平面直角坐标系中，过点 $ M(4, 0) $ 的直线 $ l // y $ 轴，作 $ \triangle ABC $ 关于 $ y $ 轴对称的图形 $ \triangle A_1B_1C_1 $，再分别作 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 关于 $ x $ 轴和直线 $ l $ 对称的图形 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 和 $ \triangle A_3B_3C_3 $，则 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 可以看作是 $ \triangle ABC $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为$180^{\circ}$；$ \triangle A_3B_3C_3 $ 可以看作是 $ \triangle ABC $ 向右平移得到的，平移距离为8个单位长度.
(2) 探究迁移
如图②，$ □ ABCD $ 中，$ \angle BAD = \alpha (0° ＜ \alpha ＜ 90°) $，$ P $ 为直线 $ AB $ 下方一点，作点 $ P $ 关于直线 $ AB $ 的对称点 $ P_1 $，再分别作点 $ P_1 $ 关于直线 $ AD $ 和直线 $ CD $ 的对称点 $ P_2 $ 和 $ P_3 $，连接 $ AP $，$ AP_2 $，请仅就图②的情形解决以下问题：
① 若 $ \angle PAP_2 = \beta $，请判断 $ \beta $ 与 $ \alpha $ 的数量关系，并说明理由；
② 若 $ AD = m $，求 $ P_1P_3 $ 两点间的距离.
(3) 拓展应用
在(2)的条件下，若 $ \alpha = 60° $，$ AD = 2\sqrt{3} $，$ \angle PAB = 15° $，连接 $ P_2P_3 $，当 $ P_2P_3 $ 与 $ □ ABCD $ 的边平行时，请直接写出 $ AP $ 的长.

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答案： $(1)180^{\circ} 8 (2)①\beta = 2\alpha $提示：连接$AP_1.$易得$\angle PAB = \angle P_1AB,\angle P_1AD = \angle P_2AD.\because \angle PAP_2 = \angle PAP_1 + \angle P_1AP_2 = 2(\angle P_1AB + \angle P_1AD)=2\angle BAD,\therefore \beta = 2\alpha ②P,P_3$两点间的距离为$2m\sin \alpha $提示：过点D作$DE \perp AB$于点E,连接$PP_3，$过点$P_1,$分别与AB,CD交于点F,G.易证四边形DEFG为矩形$.\therefore DE = FG.$易得$PF = P_1F,P_1G = P_3G.\therefore PP_3 = PP_1 + P_1P_3 = 2(P_1F + P_1G)=2FG = 2DE.$在$Rt \triangle ADF$中，得$DF = m\sin \alpha.\therefore PP_3 = 2m\sin \alpha.\therefore P,P_3$两点间的距离为$2m\sin \alpha (3)AP$的长为$3\sqrt{2} - \sqrt{6}$或$2\sqrt{6}$