《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. (2024·绥化中考)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程题时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 $ 6 $ 和 $ 1 $；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 $ -2 $ 和 $ -5 $. 则原来的方程可能是(B).

A.$ x^{2}+6x + 5 = 0 $
B.$ x^{2}-7x + 10 = 0 $
C.$ x^{2}-5x + 2 = 0 $
D.$ x^{2}-6x - 10 = 0 $

答案： 1 B

2. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x + k + 2 = 0 $ 的两个实数根.
(1) 求 $ k $ 的取值范围.
(2) 是否存在实数 $ k $，使得等式 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} = k - 2 $ 成立？如果存在，请求出 $ k $ 的值；如果不存在，请说明理由.

答案： $2 (1)\because$一元二次方程$x^{2} - 2x + k + 2 = 0$有两个实数根$,\therefore\Delta = (-2)^{2} - 4×1×(k + 2)\geq0,$解得$k\leq -1$
(2)存在.求解如下$:\because x_{1},x_{2}$是$x^{2} - 2x + k + 2 = 0$的两个实数根$,\therefore x_{1} + x_{2} = 2,x_{1}x_{2} = k + 2.\because\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = k - 2,$
$\therefore\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{2}{k + 2} = k - 2,\therefore k^{2} - 6 = 0,$解得$k_{1} = -\sqrt{6},k_{2} = \sqrt{6}.$
由
(1)知$,k\leq -1,\therefore k = -\sqrt{6}.\therefore$存在$k = -\sqrt{6},$使得等式$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = k - 2$成立

1. 如图，线段 $ AB = 4 cm $，$ C $ 是 $ AB $ 上一点，且满足 $ AC^{2} = AB · BC $，那么 $ BC = $ $(6 - 2\sqrt{5}) cm$.

答案： 1.$(6 - 2\sqrt{5}) cm$

2. 如图，邻边长度不相等的矩形花圃 $ ABCD $，它的一边 $ AD $ 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 $ 6 m $。若矩形的面积为 $ 4 m^{2} $，则 $ AB $ 的长度是 1 m.(可利用的围墙长度超过 $ 6 m $)

答案： 2.1 m

3. 若某公司今年的年产值是 $ 1000 $ 万元，以后每年的增长率都是 $ 10\% $，则两年后该公司的年产值是 1 210 万元。

答案： 3.1 210