《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

2. 如图，二次函数$y = ax^{2}+bx$的图象经过点$A(2,4)$与$B(6,0)$。
(1)求$a$，$b$的值；
(2)点$C$是该二次函数图象上$A$，$B$两点之间的一动点，其横坐标为$x(2 ＜ x ＜ 6)$，求出四边形$OACB$的面积$S$关于$x$的函数表达式及$S$的最大值。

答案：
2.
(1)a=$-\frac{1}{2}$，b=3
(2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2,0)，连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连接BC，$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}OD·AD=\frac{1}{2}×2×4=4$；$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AD·CE=\frac{1}{2}×4×(x-2)=2x-4$；$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD·CF=\frac{1}{2}×4×(-\frac{1}{2}x^{2}+3x)=-x^{2}+6x$。$\therefore S=S_{\triangle OAD}+S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD}=4+2x-4-x^{2}+6x=-x^{2}+8x(2＜x＜6)$。$\because S=-x^{2}+8x=-(x-4)^{2}+16$，$\therefore$当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16。

3. (2023·江西中考改编)综合与实践
问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$D$为$AC$上一点，$CD = \sqrt{2}$，动点$P$以每秒$1$个单位长度的速度从$C$点出发，在$Rt\triangle ABC$的边上沿$C\rightarrow B\rightarrow A$匀速运动，到达点$A$时停止，以$DP$为边作正方形$DPEF$。设点$P$的运动时间为$t$s，正方形$DPEF$的面积为$S$，探究$S$与$t$之间的关系。
初步感知 (1)如图①，当点$P$由点$C$运动到点$B$时，

①当$t = 1$时，$S =$3；
②$S$关于$t$的函数表达式为S=t²+2。
(2)当点$P$由点$B$运动到点$A$时，经探究发现$S$是关于$t$的二次函数，并绘制成图象，如图②所示。请根据图象信息，求$S$关于$t$的函数表达式及线段$AB$的长。

答案： 3.
(1)①3 ②S=t²+2
(2)S关于t的函数表达式为S=t²−8t+18(2≤t≤8)，AB=6