《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

4. (2023·上海中考)在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$AB = CD$，下列说法能使四边形 $ABCD$ 为矩形的是(C).

A.$AB // CD$
B.$AD = BC$
C.$\angle A = \angle B$
D.$\angle A = \angle D$

答案： 4.C

5. (2023·河南中考)在矩形 $ABCD$ 中，$M$ 为其对角线 $BD$ 的中点，点 $N$ 在边 $AD$ 上，且 $AN = AB = 1$. 当以点 $D$，$M$，$N$ 为顶点的三角形是直角三角形时，$AD$ 的长为2或1 + √2.

答案： 5.2或1 + √2　提示：当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分∠DMN = 90°和∠DNM = 90°两种情况进行分析求解即可

6. (2024·内蒙古中考)如图，边长为 $2$ 的正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是 $BC$ 边上一点，$F$ 是 $BD$ 上一点，连接 $DE$，$EF$. 若 $\triangle DEF$ 与 $\triangle DEC$ 关于直线 $DE$ 对称，则 $\triangle BEF$ 的周长是(A).

A.$2\sqrt{2}$
B.$2 + \sqrt{2}$
C.$4 - 2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$

答案： 6.A

7. (2022·德州中考)如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $6$，点 $E$ 在 $BC$ 边上，$CE = 2$，$M$ 是对角线 $BD$ 上的一个动点，则 $EM + CM$ 的最小值是(C).

A.$6\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{13}$
D.$4\sqrt{13}$

答案： 7.C

8. (2022·内蒙古中考)如图，将边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $30^{\circ}$，得到正方形 $AB'C'D'$，则图中阴影部分的面积为(C).

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$1 - \frac{\sqrt{3}}{4}$

答案： 8.C

9. (2022·阜新中考改编)如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，$\triangle DEF$ 绕点 $D$ 旋转 ($DE ＜ AB$)，$\angle EDF = 90^{\circ}$，$DE = DF$，连接 $AE$，$CF$.
(1) 如图①，求证：$\triangle ADE \cong \triangle CDF$；
(2) 如图②，直线 $AE$ 与 $CF$ 相交于点 $G$，$BM \perp AE$，$BN \perp CF$，垂足分别为 $M$，$N$，求证：四边形 $BMGN$ 是正方形.

答案： 9.
(1)证明略　
(2)设AG与CD相交于点P.
∵∠ADP = 90°，
∴∠DAP + ∠DPA = 90°.
∵△ADE ≌ △CDF，
∴∠DAE = ∠DCF.
∵∠DPA = ∠GPC，
∴∠GPC + ∠GCP = 90°.
∴∠PGN = 90°.
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴∠MGN = ∠BMG = ∠BNG = 90°.
∴四边形BMGN是矩形.
∴∠MBN = 90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = BC，∠ABC = 90°.
∴∠ABC = ∠MBN.
∴∠ABM = ∠CBN.
∵∠AMB = ∠BNC = 90°，AB = BC，
∴△AMB ≌ △CNB(AAS).
∴MB = NB.
∴矩形BMGN是正方形