《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

2. 升国旗时某同学站在离旗杆底部$24\ m$处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰好为$30^{\circ}$，若两眼离地面$1.5\ m$，则旗杆高约为15.4 m。(结果精确到$0.1\ m$；参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732$)

答案： 2. 15.4 m

3. 如图所示，有下列说法：①$B$在$A$的东北方向，$A$在$B$的西南方向；②$C$在$A$的北偏东$15^{\circ}$方向；③$C$在$B$的南偏东$60^{\circ}$方向；④$B$在$C$的北偏西$30^{\circ}$方向。其中正确的说法有①④。(填序号)

答案： 3. ①④

1. 已知锐角$\alpha$，且$\sin \alpha = \cos 37^{\circ}$，则$\alpha$等于(C)。

A.$37^{\circ}$
B.$63^{\circ}$
C.$53^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： 1. C

2. 下列说法正确的是(C)。

A.在$\triangle ABC$中，若$\angle A$的对边是$3$，一条邻边是$5$，则$\tan A = \dfrac{3}{5}$
B.将一个三角形的各边扩大到原来的$3$倍，则其中一个角的正弦值也扩大到原来的$3$倍
C.在锐角三角形$ABC$中，已知$\angle A = 60^{\circ}$，那么$\cos A = \dfrac{1}{2}$
D.一定存在一个锐角$A$，使得$\sin A = 1.23$

答案： 2. C

3. 某铁路路基断面为一个等腰梯形，若坡度为$\dfrac{2}{3}$，顶宽为$3\ m$，路基高为$4\ m$，则路基的下底宽为(A)。

A.$15\ m$
B.$12\ m$
C.$9\ m$
D.$7\ m$

答案： 3. A

4. 如图，在$Rt \triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点$D$在$AC$上，$\angle DBC = \angle A$。若$AC = 4$，$\cos A = \dfrac{4}{5}$，则$BD$的长度为(C)。

A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$4$

答案： 4. C

5. 如图，某飞机于空中$A$处探测到地面目标$B$，此时从飞机上看目标$B$的俯角$\alpha = 30^{\circ}$，飞行高度$AC = 1200\ m$，则飞机到目标$B$的距离$AB$为(B)。

A.$1200\ m$
B.$2400\ m$
C.$400\sqrt{3}\ m$
D.$1200\sqrt{3}\ m$

答案： 5. B

6. 如图，要在宽为$22\ m$的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂$CD$长$2\ m$，且与灯柱$BC$成$120^{\circ}$角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线$DO$与灯臂$CD$垂直，当灯罩的轴线$DO$通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱$BC$高度应该设计为(D)。

A.$(11 - 2\sqrt{2})\ m$
B.$(11\sqrt{3} - 2\sqrt{2})\ m$
C.$(11 - 2\sqrt{3})\ m$
D.$(11\sqrt{3} - 4)\ m$

答案：
6. D [解析]如图，延长 OD，BC 交于点 P.
∵∠ODC = ∠B = 90°，∠P = 30°，OB = 11 m，
CD = 2 m，
∴在 Rt△CPD 中，
DP = DC · tan 60° = 2√3（m），
PC = CD / sin 30° = 4（m）.
∵∠P = ∠P，∠PDC = ∠B = 90°，
∴△PDC∽△PBO.
∴PD / PB = CD / OB，
∴PB = PD · OB / CD = (2√3×11) / 2 = 11√3(m)，
∴BC = PB - PC = (11√3 - 4)m