《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

11. （2023·江西中考）如图，已知直线 $ y = x + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ A(2, 3) $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，过点 $ B $ 作 $ x $ 轴的平行线交反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (x ＞ 0) $ 的图象于点 $ C $。
（1）求直线 $ AB $ 的函数表达式和反比例函数的表达式；
（2）求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案： 11.
(1)直线AB的函数表达式为$y = x + 1$,反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$　
(2)$\triangle ABC$的面积为6　提示:易得$B(0,1)$,$C(6,1)$。过点A作$AD\perp BC$于点D。$\therefore BC = 6$,$AD = 2$。$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×6×2 = 6$。$\therefore\triangle ABC$的面积为6

1. (2023·达州中考)背景 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为 $ 12 V $ 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 $ L $(灯丝的阻值 $ R_{L} = 2 \Omega $)亮度的实验(如图①)，已知串联电路中，电流与电阻 $ R $、$ R_{L} $ 之间关系为 $ I = \frac{U}{R + R_{L}} $，通过实验得出如下数据：
(1)$ a = $2，$ b = $1.5。
(2)探究 根据以上实验，构建出函数 $ y = \frac{12}{x + 2} (x \geq 0) $，结合表格信息，探究函数 $ y = \frac{12}{x + 2} (x \geq 0) $ 的图象与性质：
① 如图②，在平面直角坐标系中，画出对应函数 $ y = \frac{12}{x + 2} (x \geq 0) $ 的图象；
② 随着自变量 $ x $ 的不断增大，函数值 $ y $ 的变化趋势是不断减小。
(3)拓展 结合(2)中函数图象分析，当 $ x \geq 0 $ 时，$ \frac{12}{x + 2} \geq -\frac{3}{2}x + 6 $ 的解集为$x\geq2$或$x = 0$。

答案：
1.
(1)2　1.5　
(2)①如图所示　②不断减小
(3)$x\geq2$或$x = 0$
　　　　　　　

2. 心理学家研究发现，一般情况下，在一节 $ 40 $ 分的课堂中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析可知，学生的注意力指标数 $ y $ 随时间 $ x $（分）的变化规律如图所示（其中 $ AB $，$ BC $ 分别为线段，$ CD $ 为双曲线的一部分）。
（1）分别求出线段 $ AB $ 和曲线 $ CD $ 对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
（2）开始上课后第 $ 5 $ 分时与第 $ 30 $ 分时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲 $ 19 $ 分，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 $ 36 $，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？并说明理由。

答案： 2.
(1)线段AB对应的函数关系式为$y = 2x + 20(0\leq x\leq10)$,曲线CD对应的函数关系式为$y=\frac{1000}{x}(25\leq x\leq40)$　
(2)当$x = 5$时,$y = 30$;当$x = 30$时,$y=\frac{1000}{30}\approx33$。$\because33 ＞ 30$,$\therefore$第30分钟时学生的注意力更集中　
(3)能。理由:由$2x + 20\geq36$可得$x\geq8$,由$\frac{1000}{x}\geq36$可得$x\leq27.8$,即当$8\leq x\leq27.8$时,注意力指数在36以上,而$27.8 - 8 = 19.8 ＞ 19$,$\therefore$经过适当安排老师能在学生注意力达到所需状态下讲解完这道题目