《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

6. 若 $(x^{2}+y^{2}-1)^{2}=4$，则 $x^{2}+y^{2}=$3.

答案： 6. 3

7. 方程 $x^{2}-4x + 4 = 2$ 的解为$x = 2 \pm\sqrt{2}$.

答案： 7. $x = 2 \pm\sqrt{2}$

8. 对于方程 $x^{2}=m - 1$，(1)若方程有实数根，则 $m$$\geq1$；(2)若方程无实数根，则 $m$$＜ 1$.

答案： 8.
(1)$\geq1$
(2)$＜ 1$

9. 规定：$a★b=(a + b)b$，如 $2★3=(2 + 3)×3 = 15$. 若 $2★x = 3$，则 $x=$1 或 -3.

答案： 9. 1 或 -3

10. 用配方法解下列方程：
(1) $(x + 2)^{2}=1$；
(2) $x^{2}+4x - 1 = 0$.

答案： 10.
(1)$x_1 = -1,x_2 = -3$
(2)$x_1 = -2 + \sqrt{5},x_2 = -2 - \sqrt{5}$

1. 欧几里得的《几何原本》记载形如 $x^{2}+ax = b^{2}$ 的方程的图解法：如图，画 $Rt\triangle ABC$，使 $\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC=\frac{a}{2}$，$AC = b$，再在斜边 $AB$ 上截取 $BD=\frac{a}{2}$，则该方程的一个正根是(B).

A.$AC$ 的长
B.$AD$ 的长
C.$BC$ 的长
D.$CD$ 的长

答案： 1. B

2. 若 $a$ 为方程 $(x - \sqrt{13})^{2}=16$ 的正根，$b$ 为方程 $y^{2}-2y - 12 = 0$ 的负根，求 $a + b$ 的值.

答案： 2. $\because$方程$(x - \sqrt{13})^2 = 16$的解为$x = \sqrt{13} \pm4$，且$\sqrt{13} + 4 ＞ 0$，$\sqrt{13} - 4 ＜ 0$，$\therefore a = \sqrt{13} + 4$。$\because$方程$y^2 - 2y - 12 = 0$，$\therefore (y - 1)^2 = 13$的解为$y = 1 \pm\sqrt{13}$，且$1 + \sqrt{13} ＞ 0$，$1 - \sqrt{13} ＜ 0$，$\therefore b = 1 - \sqrt{13}$。$\therefore a + b = \sqrt{13} + 4 + 1 - \sqrt{13} = 5$

3. 经过两年的时间，某城市的绿地面积从 $1.44×10^{6}m^{2}$ 提高到 $2.25×10^{6}m^{2}$，求该城市绿地面积平均每年的增长率.

答案： 3. 设该城市绿地面积平均每年的增长率为$x$，则$1.44 × 10^6 × (1 + x)^2 = 2.25 × 10^6$，解得$x_1 = \frac{1}{4} = 25\%$，$x_2 = -\frac{9}{4}$（舍去）。$\therefore$该城市绿地面积平均每年的增长率为$25\%$