《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

3. (2022·武汉中考)如图，沿 $AB$ 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线 $AB$ 上湖的另一边的 $D$ 处同时施工。若 $\angle ABC = 150^{\circ}$，$BC = 1600$ m，$\angle BCD = 105^{\circ}$，则 $C$，$D$ 两点之间的距离是 m。$800\sqrt{2}$
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答案： 3. $800\sqrt{2}$

4. (2022·巴中中考)一艘轮船位于灯塔 $P$ 的南偏东 $60^{\circ}$方向，距离灯塔 $P$ $30$ n mile 的 $A$ 处，这艘轮船从 $A$ 处沿北偏东 $30^{\circ}$方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的北偏东 $67^{\circ}$方向上的 $B$ 处，此时与灯塔 $P$ 的距离约为50n mile。（参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx \frac{3}{5}$，$\cos 37^{\circ} \approx \frac{4}{5}$，$\tan 37^{\circ} \approx \frac{3}{4}$）
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答案： 4.50

5. (2022·张家界中考)阅读下列材料：
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，求证：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。
证明：如图①，过点 $C$ 作 $CD \perp AB$ 于点 $D$。在 $Rt\triangle BCD$ 中，$\because \sin B = \frac{CD}{a}$，$\therefore CD = a \sin B$。
在 $Rt\triangle ACD$ 中，$\because \sin A = \frac{CD}{b}$，$\therefore CD = b \sin A$。$\therefore a \sin B = b \sin A$。$\therefore \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图②，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，求证：$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境。如图③，一片三角形区域需要美化，$\angle A = 67^{\circ}$，$\angle B = 53^{\circ}$，$AC = 80$ m，求这片三角形区域的面积。（结果保留根号；参考数据：$\sin 53^{\circ} \approx 0.8$，$\sin 67^{\circ} \approx 0.9$）
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答案： 5.
(1)略
(2)这片三角形区域的面积为 $1800\sqrt{3}m^{2}$