《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

2. 为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理。如图，正在执行巡航任务的海监船以每时$40\ n mile$的速度向正东方向航行，在$A$处测得灯塔$P$在北偏东$60^{\circ}$方向上，继续航行$30\ min$后到达$B$处，此时测得灯塔$P$在北偏东$45^{\circ}$方向上。
(1)求$\angle APB$的度数。
(2)已知在灯塔$P$的周围$25\ n mile$内有暗礁，海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由。(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$)

答案：
2.
(1)由题意知，∠PAB = 90° - 60° = 30°，∠ABP = 90° + 45° = 135°，
∴∠APB = 180° - ∠PAB - ∠ABP = 180° - 30° - 135° = 15°
(2)海监船继续向正东方向航行安全. 理由如下：如图，作 PH ⊥ AB 于点 H，则△PBH 是等腰直角三角形，
∴BH = PH. 设 BH = PH = x n mile. 由题意得 AB = 40 × 30 / 60 = 20（n mile）. 在 Rt△APH 中，tan∠PAB = tan 30° = PH / AH = √3 / 3，即 x / (20 + x) = √3 / 3，解得 x = 10√3 + 10 ≈ 27.32＞25，且符合题意.
∴海监船继续向正东方向航行安全

3. (2024·广东中考)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献。为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图所示的是矩形$PQMN$充电站的平面示意图，矩形$ABCD$是其中一个停车位。经测量，$\angle ABQ = 60^{\circ}$，$AB = 5.4\ m$，$CE = 1.6\ m$，$GH \perp CD$，$GH$是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定。(结果精确到$0.1\ m$；参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$)
根据以上信息解决下列问题：
(1)求$PQ$的长；
(2)该充电站有$20$个停车位，求$PN$的长。

答案： 3.
(1)
∵四边形 PQMN 是矩形，
∴∠Q = ∠P = 90°. 在 Rt△ABQ 中，∠ABQ = 60°，AB = 5.4 m，
∴AQ = AB · sin∠ABQ = 27√3 / 10，∠QAB = 30°.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD = BC，∠ABC = ∠BCE = 90°.
∴∠CBE = 30°.
∴BC = CE / tan∠CBE = 8√3 / 5.
∴AD = 8√3 / 5.
∵∠PAD = 180° - 30° - 90° = 60°，
∴AP = AD · cos∠PAD = 4√3 / 5.
∴PQ = AP + AQ = 7√3 / 2 ≈ 6.1(m)
(2)在 Rt△BCE 中，BE = CE / sin∠CBE = 3.2 m. 在 Rt△ABQ 中，BQ = AB · cos∠ABQ = 2.7 m.
∵该充电站有 20 个停车位，
∴QM = QB + 20BE = 66.7 m.
∵四边形 PQMN 是矩形，
∴PN = QM = 66.7 m