《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 交于点 $O$,点 $E$,$F$ 分别为边 $AB$,$BC$ 上的点,且满足 $\angle EOF = 90°$,给出下列结论:① $\triangle BEO \cong \triangle CFO$,$\triangle AEO \cong \triangle BFO$;② $\triangle EOF$ 为等腰直角三角形;③若正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$,则线段 $EF$ 的最小值为 $\sqrt{2}$,最大值为 $2$;④若 $AE = 3$,$CF = 4$,则 $EF = 5$;⑤四边形 $BFOE$ 的面积始终不变. 其中正确的有①②③④⑤.(填序号)

答案： 1.①②③④⑤

2. (1)如图①,已知 $\angle EPF = 90°$,$\angle EPF$ 的顶点和正方形 $ABCD$ 的顶点 $C$ 重合,两直角边 $PE$,$PF$ 分别和 $AB$,$AD$ 所在直线交于点 $E$,$F$,求 $PE$ 与 $PF$ 之间的数量关系;
(2)如图②,若点 $P$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上,其他条件不变,(1)中 $PE$ 与 $PF$ 的数量关系是否依然成立?

答案： 2.
(1)PE=PF
(2)PE=PF 依然成立

3. (2022·黔西南州中考)在正方形 $ABCD$ 中,$E$,$F$ 分别是 $BC$,$CD$ 边上一点(点 $E$ 不与点 $B$,$C$ 重合),且 $\angle EAF = 45°$.
(1)如图①,当 $BE = DF$ 时,求证:$AE = AF$.
(2)如图②,猜想 $BE$,$EF$,$DF$ 之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)如图③,连接 $AC$,$G$ 是 $CB$ 延长线上一点,过点 $G$ 作 $GH \perp AE$,垂足为 $K$,交 $AC$ 于点 $H$,$GH = AE$. 若 $DF = a$,$CH = b$,请用含 $a$,$b$ 的代数式表示 $EF$ 的长.

答案： 3.
(1)证明略
(2)BE+DF=EF.证明略 提示:将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG.易得△ABE≌△ADG,点G,D,C在一条直线上.
∴∠BAE=∠DAG,AG=AE.易得△GAF≌△EAF(SAS).
∴FG=EF.
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴BE+DF=EF
(3)EF的长为$a+\frac{\sqrt{2}}{2}b $提示:过点H作HR⊥BC于点R.易得△ABE≌△GRH(AAS),
∴BE=HR.在Rt△CRH中,易得$HR=\frac{\sqrt{2}}{2}b,$
∴$BE=\frac{\sqrt{2}}{2}b,$
∴$EF=BE+DF=a+\frac{\sqrt{2}}{2}b$