《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. 矩形两条对角线的交点到短边距离比到长边的距离多 $4$，若矩形的周长为 $56$，则矩形的两邻边的长分别为(D).

A.$19$ 和 $9$
B.$10$ 和 $8$
C.$16$ 和 $12$
D.$18$ 和 $10$

答案： 1.D

2. 如图，已知菱形 $OABC$ 的顶点 $O(0,0)$，$B(2,2)$，若菱形绕点 $O$ 逆时针旋转，每秒旋转 $45^{\circ}$，则第 $60$ s 时，菱形的对角线交点 $D$ 的坐标为(B).

A.$(1, -1)$
B.$( -1, -1)$
C.$(\sqrt{2},0)$
D.$(0, -\sqrt{2})$

答案： 2.B

3. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 的垂直平分线 $EF$ 分别交 $BC$，$AD$ 于点 $E$，$F$. 若 $BE = 3$，$AF = 5$，则 $AC$ 的长为(A).

A.$4\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$10$
D.$8$

答案： 3.A

4. 我们知道：四边形具有不稳定性. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 $2$ 的正方形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $x$ 轴上，$AB$ 的中点是坐标原点 $O$，固定点 $A$，$B$，把正方形沿箭头方向推，使点 $D$ 落在 $y$ 轴正半轴上点 $D'$ 处，则点 $C$ 的对应点 $C'$ 的坐标为(D).

A.$(\sqrt{3},1)$
B.$(2,1)$
C.$(1,\sqrt{3})$
D.$(2,\sqrt{3})$

答案： 4.D

5. 如图，在任意四边形 $ABCD$ 中，$M$，$N$，$P$，$Q$ 分别是 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 上的点，对于四边形 $MNPQ$ 的形状，以下结论错误的是(B).

A.当 $M$，$N$，$P$，$Q$ 是各边中点时，四边形 $MNPQ$ 一定为平行四边形
B.当 $M$，$N$，$P$，$Q$ 是各边中点，且 $\angle ABC = 90^{\circ}$ 时，四边形 $MNPQ$ 为正方形
C.当 $M$，$N$，$P$，$Q$ 是各边中点，且 $AC = BD$ 时，四边形 $MNPQ$ 为菱形
D.当 $M$，$N$，$P$，$Q$ 是各边中点，且 $AC \perp BD$ 时，四边形 $MNPQ$ 为矩形

答案： 5.B

6. (2024·河南中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $x$ 轴上，点 $A$ 的坐标为 $( -2,0)$，点 $E$ 在边 $CD$ 上. 将 $\triangle BCE$ 沿 $BE$ 折叠，点 $C$ 落在点 $F$ 处. 若点 $F$ 的坐标为 $(0,6)$，则点 $E$ 的坐标为(3,10).

答案：
6.(3,10)　[解析]
∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴AD = AB = CD = CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴. 由折叠得FB = CB，FE = CE. 设CD交y轴于点G，AD = AB = CB = CD = m，则BF = OG = m.
∵A(-2,0)，F(0,6)，
∴OA = GD = 2，OF = 6.
∴OB = m - 2.
∵∠BOF = ∠EGF = 90°，
∴OB² + OF² = BF².
∴(m - 2)² + 6² = m²，解得m = 10.
∴AD = OG = CD = 10.
∴FG = 10 - 6 = 4，FE = CE = 10 - 2 - GE = 8 - GE.
∵GE² + FG² = FE²，
∴GE² + 4² = (8 - GE)²，解得GE = 3，
∴点E的坐标为(3,10)