《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

8. (2022·内蒙古中考) 如图，在平面直角坐标系中，$Rt\triangle OAB$的直角顶点$B$在$x$轴的正半轴上，点$A$在第一象限，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象经过$OA$的中点$C$，交$AB$于点$D$，连接$CD$。若$\triangle ACD$的面积是$1$，则$k$的值是$\frac { 4 } { 3 }$。
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答案： 8.$\frac { 4 } { 3 }$

9. 如图，已知一次函数$y = ax + b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}(x＜0)$的图象交于点$A(-2,4)$，$B(-4,2)$，且与$x$轴，$y$轴分别交于点$C$，$D$。
(1) 根据图象，直接写出不等式$\dfrac{m}{x}＜ax + b$的解集；
(2) 求反比例函数与一次函数的表达式；
(3) 若点$P$在$y$轴上，且$S_{\triangle AOP}=\dfrac{1}{2}S_{\triangle AOB}$，求出点$P$的坐标。
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答案： 9.
(1)不等式$\frac { m } { x } ＜ ax + b$的解集为$-4 ＜ x ＜ - 2$　
(2)反比例函数的表达式为$y = - \frac { 8 } { x }$,一次函数的表达式为$y = x + 6$　
(3)点P的坐标为$(0,3)$或$(0, - 3)$　提示:利用点A,B,C的坐标,易得$S_{\triangle ABO} = S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOC} = 6$,
∴ $S_{\triangle AOP} = \frac { 1 } { 2 } S_{\triangle AOB} = 3$. 过点A作$AE \perp y$轴于点E,
∴ $AE = 2$. 利用$S_{\triangle AOP} = \frac { 1 } { 2 } OP × AE$,可求出OP的长. 从而可得点P的坐标

10. (2024·河南中考) 如图，矩形$ABCD$的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线$AC$，$BD$相交于点$E$，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A$。
(1) 求这个反比例函数的表达式；
(2) 请先描出这个反比例函数图象上不同于点$A$的三个格点，再画出反比例函数的图象；
(3) 将矩形$ABCD$向左平移，当点$E$落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为$\frac { 9 } { 2 }$个单位长度。
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答案：
10.
(1)
∵反比例函数$y = \frac { k } { x } (x ＞ 0)$的图象经过点A$(3,2)$,将$(3,2)$代入反比例函数表达式中,得$2 = \frac { k } { 3 }$,
∴ $k = 6$,
∴ 这个反比例函数的表达式为$y = \frac { 6 } { x }$　
(2)如图
(3)$\frac { 9 } { 2 }$个单位长度　[解析]由图知E$(6,4)$,令$\frac { 6 } { x } = 4$,得$x = \frac { 3 } { 2 }$,
∵ $6 - \frac { 3 } { 2 } = \frac { 9 } { 2 }$,
∴ 矩形ABCD向左平移$\frac { 9 } { 2 }$个单位长度时，点E落在这个反比例函数的图象上