《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

7. 定义运算“☆”：$m☆n = mn^{2} - mn - 1$。例如：$4☆2 = 4×2^{2} - 4×2 - 1 = 7$，则方程$1☆x = 0$的根的情况为(A)。

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根

答案： 7. A

8. 用公式法解下列方程：
（1）$2x^{2} + \frac{1}{2} = - 2x$；
（2）$x(x + 8) = 16$。

答案： 8.
(1)$x_{1}=x_{2}=-\frac{1}{2}$
(2)$x_{1}=-4 + 4\sqrt{2},x_{2}=-4 - 4\sqrt{2}$

1. 小刚在解关于$x$的方程$ax^{2} + bx + c = 0(a ≠ 0)$时，只抄对了$a = 1$，$b = 4$，解出其中一个根是$x = - 1$，他核对时发现所抄的$c$比原方程的$c$值小$2$。则原方程的根的情况是(A)。

A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是$x = - 1$
D.有两个相等的实数根

答案： 1. A

2. 已知关于$x$的一元二次方程$(x - 3)(x - 2) = |m|$。
（1）求证：对于任意实数$m$，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是$1$，求$m$的值及方程的另一个根。

答案： 2.
(1) 原方程可化为 $x^{2}-5x + 6 - |m|=0$。
$\Delta=(-5)^{2}-4 × 1 × (6 - |m|)=25 - 24 + 4|m|=1 + 4|m|$。$\because |m| \geq 0$，$\therefore 1 + 4|m|＞0$。$\therefore$ 对于任意实数 $m$，方程总有两个不相等的实数根
(2) 把 $x = 1$ 代入原方程，得 $|m|=2$。$\therefore m = \pm 2$。把 $|m|=2$ 代入原方程，得 $x^{2}-5x + 4=0$。$\therefore x_{1}=1,x_{2}=4$。$\therefore m$ 的值为 $\pm 2$，方程的另一个根是 4

1. 将下列各式因式分解：(1)$5x^{2}-2x=$$x(5x - 2)$；(2)$9x^{2}-4=$$(3x + 2)(3x - 2)$。

答案： 1.
(1)$x(5x - 2)$
(2)$(3x + 2)(3x - 2)$

2. 一元二次方程$4x^{2}=5x$的根是$x_1 = 0,x_2 = \frac{5}{4}$。

答案： 2.$x_1 = 0,x_2 = \frac{5}{4}$

3. 方程$(y + 1)(3y + 2)=0$的根是$y_1 = - 1,y_2 = - \frac{2}{3}$。

答案： 3.$y_1 = - 1,y_2 = - \frac{2}{3}$

1. 方程$2x(x - 3)=5(x - 3)$的根是(C)。

A.$x=\frac{5}{2}$
B.$x = 3$
C.$x_{1}=3,x_{2}=\frac{5}{2}$
D.$x_{1}=-\frac{5}{2},x_{2}=3$

答案： 1.C