《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

6. 如图，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O到菱形一边AB的距离为2，那么点O到另一边BC的距离为2.

7. 如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点，有下列结论：①$S_{△ADE}=S_{△EOD}$；②四边形BFDE是菱形；③四边形ABCD的面积为EF·BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形. 其中，正确的有①②③⑤. (填序号)

8. 如图，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，点P是对角线AC上任意一点(点P不与点A，C重合)，且EP//BC交AB于点E，PF//CD交AD于点F，连接EF，则阴影部分的面积是2.5.

9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE//BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.
(1)求证：AE=CF；
(2)若BE=DE，求证：四边形EBFD为菱形.

10. 如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；再分别以点B，F为圆心，大于$\frac{1}{2}$BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形.
(1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若菱形ABEF的周长为16，AE=$4\sqrt{3}$，求∠C的度数.

答案：
6. 2
7. ①②③⑤
8. 2.5
9.
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD = CB,AD // CB,
∴ ∠DAE = ∠BCF.
∵ DE // BF,
∴ ∠DEF = ∠BFE,
∴ ∠AED = ∠CFB. 在△ADE和△CBF中,∠DAE = ∠BCF,∠AED = ∠CFB,AD = CB,
∴ △ADE≅△CBF.
∴ AE = CF
(2)由
(1)知,△ADE≅△CBF,则DE = BF. 又
∵ DE // BF,
∴ 四边形EBFD是平行四边形.
∵ BE = DE,
∴ 四边形EBFD为菱形
10.
(1)由尺规作图的过程可知,AB = AF,AE平分∠BAD,
∴ ∠BAE = ∠EAF.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ BC // AD,
∴ ∠AEB = ∠EAF.
∴ ∠BAE = ∠AEB.
∴ AB = BE,
∴ BE = AF.
∴ 四边形ABEF为平行四边形.
∴ 四边形ABEF为菱形
(2)如图,连接BF,

交AE于点G.
∵ 菱形ABEF的周长为16,AE = 4√3,
∴ AB = BE = EF = AF = 4,AG = 2√3,BF = 2BG,AE ⊥ BF. 在Rt△ABG中,AB = 4,AG = 2√3,
∴ BG = 2.
∴ BF = 4,
∴ AB = AF = BF,
∴ △ABF是等边三角形.
∴ ∠BAF = 60°.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠C = ∠BAF = 60°