《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

7. 已知二次函数 $ y = x^{2}-2027x + 2026 $ 的图象与 $ x $ 轴交点的坐标分别为 $ (m,0) $，$ (n,0) $，则代数式 $ (m^{2}-2027m + 2026)(n^{2}-2027n + 2026) $ 的值是(A).

A.0
B.$ -1 $
C.2026
D.2027

答案： 7.A

8. “如果二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴有两个公共点，那么一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 有两个不相等的实数根. ”请根据你对这句话的理解，解决下面的问题：若 $ m,n(m ＜ n) $ 是关于 $ x $ 的方程 $ 1 - (x - a)(x - b) = 0 $ 的两根，且 $ a ＜ b $，则 $ a,b,m,n $ 的大小关系是(A).

A.$ m＜a＜b＜n $
B.$ a＜m＜n＜b $
C.$ a＜m＜b＜n $
D.$ m＜a＜n＜b $

答案： 8.A

9. 二次函数 $ y = ax^{2}-ax + 3x + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴有且只有一个交点，那么 $ a $ 的值为1 或 9，交点坐标为（-1,0）或$(\frac{1}{3},0)$.

答案： 9.1 或 9（-1,0）或$(\frac{1}{3},0)$

10. 如图，已知二次函数 $ y_{1}=ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 与一次函数 $ y_{2}=kx + m(k \neq 0) $ 的图象相交于点 $ A(-2,4) $，$ B(8,2) $，则能使 $ y_{1}＞y_{2} $ 成立的 $ x $ 的取值范围是x ＜ -2 或x ＞ 8.
]

答案： 10.x ＜ -2 或x ＞ 8

11. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象如图所示，且 $ P = |a - b + c|+|2a + b| $，$ Q = |a + b + c|+|2a - b| $，则 $ P,Q $ 的大小关系为P ＜ Q.

答案： 11.P ＜ Q

12. 二次函数 $ y = ax^{2}+c $ 的图象与直线 $ y = kx + b(k＞0) $ 交于 $ M(-2,m) $，$ N(1,n) $ 两点 $ (mn＜0) $，则关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2}+kx + (c - b)＞0 $ 的解集为-1 ＜ x ＜ 2.

答案： 12.-1 ＜ x ＜ 2

13. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示，给出下列结论：
① $ b＞0 $；
② $ a - b + c = 0 $；
③一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c + 1 = 0(a \neq 0) $ 有两个不相等的实数根；
④当 $ x＜-1 $ 或 $ x＞3 $ 时，$ y＞0 $. 上述结论正确的有②③④. (填序号)
]

答案： 13.②③④

14. 已知二次函数 $ y = 2(x - 1)(x - m - 3)(m $ 为常数).
(1)求证：不论 $ m $ 为何值，该函数的图象与 $ x $ 轴总有公共点；
(2)当 $ m $ 取什么值时，该函数的图象与 $ y $ 轴的交点在 $ x $ 轴的上方？

答案： 14.
(1)当y = 0时，2(x - 1)(x - m - 3) = 0. 解得$x_{1} = 1，$$x_{2} = m + 3. $当m + 3 = 1，即m = -2时，方程有两个相等的实数根；当m + 3 ≠ 1，即m ≠ -2时，方程有两个不相等的实数根. 所以，不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点
(2)当x = 0时，y = 2m + 6，即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m + 6. 当2m + 6 ＞ 0，即m ＞ -3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方