《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

6. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一。某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度。如图所示，他们在地面一条水平步道 $MP$ 上架设测角仪，先在点 $M$ 处测得观星台最高点 $A$ 的仰角为 $22^{\circ}$，然后沿 $MP$ 方向前进 $16$ m 到达点 $N$ 处，测得点 $A$ 的仰角为 $45^{\circ}$。测角仪的高度为 $1.6$ m。
(1)求观星台最高点 $A$ 距离地面的高度。（结果精确到 $0.1$ m；参考数据：$\sin 22^{\circ} \approx 0.37$，$\cos 22^{\circ} \approx 0.93$，$\tan 22^{\circ} \approx 0.40$，$\sqrt{2} \approx 1.41$）
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为 $12.6$ m。请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议。
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答案：
(1)12.3米；
(2)误差0.3米，建议多次测量取平均值。

7. (2024·贵州中考)综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习。
【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿 $A$ 处投射到底部 $B$ 处，入射光线与水槽内壁 $AC$ 的夹角为 $\angle A$；
第二步：向水槽注水，水面上升到 $AC$ 的中点 $E$ 处时，停止注水。（直线 $NN'$ 为法线，$AO$ 为入射光线，$OD$ 为折射光线）
【测量数据】如图，点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$，$O$，$N$，$N'$ 在同一平面内，测得 $AC = 20$ cm，$\angle A = 45^{\circ}$，折射角 $\angle DON = 32^{\circ}$。
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求 $BC$ 的长；
(2)求 $B$，$D$ 之间的距离。（结果精确到 $0.1$ cm；参考数据：$\sin 32^{\circ} \approx 0.52$，$\cos 32^{\circ} \approx 0.84$，$\tan 32^{\circ} \approx 0.62$）
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答案：
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，∠BAC=45°，
tan∠BAC=BC/AC，
BC=AC·tan45°=20×1=20cm。
(2) E为AC中点，AE=EC=10cm，水面EF距底面10cm。
入射光线AO与AC夹角45°，AC//法线NN'，入射角=45°。
在水面EF上，设入射点O，竖直距离EO=10cm，水平距离EO'=10·tan45°=10×1=10cm，故O点水平坐标为10cm。
折射角∠DON=32°，竖直距离ON=10cm，水平距离DN=10·tan32°≈10×0.62=6.2cm，
D点水平坐标=10+6.2=16.2cm。
B点水平坐标=20cm（由
(1)BC=20cm），
BD=20-16.2=3.8cm。
(1)20cm；
(2)3.8cm。