《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. 一元二次方程$(x + 2)(x - 2) = 4x - 1$化为一般形式为$x^{2}-4x-3=0$，其中$a =$1，$b =$-4，$c =$-3，$b^{2} - 4ac =$28。

答案： 1. $x^{2}-4x-3=0$ 1 -4 -3 28

2. 一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0(a ≠ 0)$，当$b^{2} - 4ac ≥ 0$时，它的根是$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；当$b^{2} - 4ac ＜ 0$时，方程无实数根。

答案： 2. $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ 无实数根

3. 用公式法解一元二次方程时，必须先把方程整理成一般形式，即$ax^{2}+bx+c=0(a \neq 0)$，找出$a$，$b$，$c$的值，再计算$b^{2} - 4ac$的值，在确定$b^{2} - 4ac$$\geq$0后，才能代入求根公式求出方程的解。

答案： 3. $ax^{2}+bx+c=0(a \neq 0)$ $\geq$

4. 方程$4x^{2} - 6x + 1 = 0$的根是$x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$。

答案： 4. $x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$

5. 已知实数$a$，$b$，$c$满足等式$\sqrt{a - 1} + |b + 2| + (2a + b + c)^{2} = 0$，则方程$ax^{2} + bx + c = 0$的根为$x_{1}=0,x_{2}=2$。

答案： 5. $x_{1}=0,x_{2}=2$

1. (2024·赤峰中考)若一个等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2} - 10x + 21 = 0$的两个根，则这个三角形的周长为(C)。

A.17或13
B.13或21
C.17
D.13

答案： 1. C

2. 能保证一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$至少有一个根是$0$的条件是(A)。

A.$a ≠ 0$且$c = 0$
B.$b = 0$
C.$b = 0$且$c = 0$
D.$c = 0$

答案： 2. A

3. 直线$y = x + a$不经过第二象限，则关于$x$的方程$ax^{2} + 2x + 1 = 0$的实数根的个数是(D)。

A.0
B.1
C.2
D.1或2

答案： 3. D 提示：$\because$ 直线 $y=x+a$ 不经过第二象限，$\therefore a \leq 0$。当 $a=0$ 时，方程是一次方程，有 1 个解；当 $a＜0$ 时，方程是二次方程，且 $\Delta=2^{2}-4a＞0$，则方程有 2 个解

4. 若关于$x$的一元二次方程$(k - 1)x^{2} + x + 1 = 0$有两个实数根，则$k$的取值范围是(D)。

A.$k ≤ \frac{5}{4}$
B.$k ＞ \frac{5}{4}$
C.$k ＜ \frac{5}{4}$且$k ≠ 1$
D.$k ≤ \frac{5}{4}$且$k ≠ 1$

答案： 4. D

5. 以$x = \frac{b ± \sqrt{b^{2} + 4c}}{2}$为根的一元二次方程可能是(D)。

A.$x^{2} + bx + c = 0$
B.$x^{2} + bx - c = 0$
C.$x^{2} - bx + c = 0$
D.$x^{2} - bx - c = 0$

答案： 5. D

6. 有下列三个结论：①$3x^{2} + 5x = - 2x + 2$的二次项系数是$3$；②$ax^{2} + bx + c = 0$是关于$x$的一元二次方程，它的两个实数根是$x = \frac{-b ± \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$；③方程$x(x + 1) = x + 1$的根是$x = - 1$。其中正确的有(B)。

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： 6. B