《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

8. 已知四边形$ABCD \sim$四边形$A'B'C'D'$，$AB = 4$，$A'B' = 2$，$BC = 6$，$\angle B' = 70^{\circ}$.
(1)求$\angle B$的度数；
(2)求$B'C'$的长.
小贴：只有对应边成比例，不能判定两个多边形相似，比如：两个任意的菱形.只有对应角相等，也不能判定两个多边形相似，比如：两个任意的矩形.

答案： 8.
(1)$70^{\circ}$
(2)3

9. 如图，四个相同的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形.
(1)试说明大正方形与小正方形相似；
(2)若大正方形的面积为$13$，每个直角三角形两直角边长的和是$5$，求大正方形与小正方形的相似比.

答案： 9.
(1)
∵ 正方形四条边相等,四个角都是直角,
∴ 大正方形与小正方形相似
(2)设直角三角形的两条直角边长分别为 $a,b(a ＞ b)$,则小正方形的边长为 $a - b$,由题意,得$\begin{cases}a^2 + b^2 = 13, \\a + b = 5,\end{cases}$ 由方程组得 $2ab = 12$,
∴ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 13 - 12 = 1$.
∴ 小正方形的面积为 1,则小正方形的边长为 1.又
∵ 大正方形的面积为 13,
∴ 大正方形的边长为$\sqrt{13}$,
∴ 大正方形与小正方形的相似比为$\sqrt{13}:1$

如图，矩形$ABCD$的长$AB = 30$，宽$BC = 20$.
(1)如图①，若沿矩形$ABCD$四周有宽为$1$的环形区域，图中所形成的两个矩形$ABCD$与$A'B'C'D'$相似吗？请说明理由.
(2)如图②，当$x$为多少时，图中的矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似？

答案：
(1)不相似. 理由如下:$AB = 30,A'B' = 28,BC = 20,B'C' = 18$,而$\frac{28}{30} \neq \frac{18}{20}$,故矩形 $ABCD$ 与矩形 $A'B'C'D'$不相似
(2)若矩形 $ABCD$ 与矩形 $A'B'C'D'$相似,则$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC} = \frac{B'C'}{AB}$,即
$\frac{30 - 2x}{30} = \frac{20 - 2}{20}$或$\frac{30 - 2x}{20} = \frac{20 - 2}{30}$,解得 $x = 1.5$ 或 $x = 9$.故当$x =$
1.5 或 $x = 9$时,矩形 $ABCD$ 与矩形 $A'B'C'D'$相似