《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

8. 方程 $\frac{1}{2}x^{2}-\frac{2}{3}=0$ 的根是$x_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2 = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

答案： 8. $x_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2 = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

9. 方程 $(3x-\sqrt{3})^{2}-27 = 0$ 的根是$x_1 = \frac{4\sqrt{3}}{3}$，$x_2 = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

答案： 9. $x_1 = \frac{4\sqrt{3}}{3}$，$x_2 = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

10. 已知 $\triangle ABC$ 的三边长分别是 $a$，$b$，$c$，且满足 $\sqrt{a - 3}+b^{2}-4b + 4 = 0$，则 $c$ 的取值范围是$1 ＜ c ＜ 5$.

答案： 10. $1 ＜ c ＜ 5$

11. 用配方法解下列方程：
(1) $2y^{2}+y - 4 = 0$；
(2) $2x^{2}-4\sqrt{2}x - 8 = 0$.

答案： 11.
(1)$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$，$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$
(2)$x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{6}$，$x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{6}$

12. 有一张桌子的桌面是长 $6dm$、宽 $4dm$ 的长方形，一块台布的面积是桌面面积的 $2$ 倍，并且铺在桌面上时，各边下垂的长度相同，则台布的长、宽各是多少？

答案： 12. 设各边下垂的长度为$x dm$，根据题意，得$(6 + 2x)(4 + 2x) = 2 × 6 × 4$。解得$x_1 = 1$，$x_2 = -6$（舍去），台布的长为$6 + 2 = 8(dm)$，宽为$4 + 2 = 6(dm)$

1. 若一元二次方程 $ax^{2}=b(ab ＞ 0)$ 的两个根分别是 $m + 1$ 与 $2m - 4$，求 $\frac{b}{a}$ 的值.

答案： 1. $\frac{b}{a} = 4$

2. 用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成 $a(x + h)^{2}+k$ 的形式，当 $a ＜ 0$，$x = -h$ 时，该二次三项式有最大值 $k$；当 $a ＞ 0$，$x = -h$ 时，该二次三项式有最小值 $k$.
【应用】(1) 当 $x=$3时，代数式 $x^{2}-6x + 10$ 有最小(填“大”或“小”)值，是1.
(2) 当 $x=$-2时，代数式 $2x^{2}+8x - 3$ 有最小(填“大”或“小”)值，是-11.
(3) 当 $x=$-4时，代数式 $-\frac{1}{2}x^{2}-4x + 7$ 的最大值是15.

答案： 2.
(1)3 小 1
(2)-2 小 -11
(3)-4 15