《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. (2022·河池中考改编)如图，在矩形 $ ABCD $ 中， $ BC = 2AB $， $ E $， $ F $ 分别是 $ BC $， $ AD $ 的中点，连接 $ EF $，得到四边形 $ ABEF $。在四边形 $ ABEF $ 中，点 $ G $， $ H $ 分别在 $ BE $， $ EF $ 上， $ BG = EH = \dfrac{2}{5}BE = 2 $，连接 $ AG $， $ BH $， $ AG $ 与 $ BH $ 相交于点 $ O $， $ N $ 为 $ AF $ 的中点，连接 $ ON $，过点 $ O $ 作 $ OM \perp ON $，垂足为 $ O $，交 $ AB $ 于点 $ M $，连接 $ MN $，则 $ \tan \angle AMN = $$\frac{5}{8}$。

答案： 1.$\frac{5}{8}$

2. 如图，已知四边形 $ ABCD $ 中， $ \angle ABC = 90° $， $ \angle ADC = 90° $， $ AB = 6 $， $ CD = 4 $， $ BC $ 的延长线与 $ AD $ 的延长线交于点 $ E $。（结果均保留根号）

(1) 若 $ \angle A = 60° $，求 $ BC $ 的长；
(2) 若 $ \sin A = \dfrac{4}{5} $，求 $ AD $ 的长。

答案： 2.
(1)
∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tanA=$\frac{BE}{AB}$，
∴BE=tan60°·6=6√3.又
∵∠CDE=90°,CD=4,sinE=$\frac{CD}{CE}$,∠E=30°,
∴CE=8.
∴BC=BE−CE=6√3−8
(2)
∵∠ABE=90°,AB=6,sinA=$\frac{4}{5}$=$\frac{BE}{AE}$，
∴设BE=4x,则AE=5x,得AB=3x.
∴3x=6,得x=2,
∴BE=8,AE=10,
∴tanE=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{CD}{DE}$,解得DE=$\frac{16}{3}$.
∴AD=AE−DE=10−$\frac{16}{3}$=$\frac{14}{3}$,即AD的长是$\frac{14}{3}$

3. 如图，某同学在楼房的 $ A $ 处测得荷塘的一端 $ B $ 处的俯角为 $ 30° $，荷塘另一端 $ D $ 与点 $ C $， $ B $ 在同一条直线上。已知 $ AC = 32 m $， $ CD = 16 m $，则荷塘的宽 $ BD $ 为多少米？（结果精确到 $ 1 m $；参考数据： $ \sqrt{3} \approx 1.73 $）

答案： 3.荷塘的宽BD约为39m

1. 在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 2$，$\sin A = \dfrac{2}{3}$，则边$AC$的长是(A)。

A.$\sqrt{5}$
B.$3$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\sqrt{13}$

答案： 1. A