《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. (2022·淄博中考)如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，交对角线BD于点F. 若∠DEF=∠DFE，则菱形ABCD的面积为(B).
A. 16
B. $6\sqrt{7}$
C. $12\sqrt{7}$
D. 30

2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是BC，BA的中点，连接DE，点F在DE的延长线上，且AF=AE.
(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；
(2)若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数.

3. 如图，点E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，求∠CFE的度数.

答案： 1. B
2.
(1)在Rt△ABC中,E为斜边AB的中点,
∴ AE = CE = BE. 又
∵ AF = AE,
∴ AF = CE. 在△BEC中,
∵ BE = CE,D为BC的中点,
∴ ∠BED = ∠DEC. 又
∵ AF = AE,
∴ ∠F = ∠AEF = ∠BED.
∴ ∠F = ∠DEC.
∴ AF // CE.
∵ AF = CE,
∴ 四边形ACEF是平行四边形
(2)∠B = 30°
3. 连接AC,在菱形ABCD中,AB = BC,∠B = ∠D = 60°,
∴ △ABC为等边三角形.
∴ AB = AC. 又
∵ ∠BCD = 120°,
∴ ∠ACF = 1/2∠BCD = 60°,
∴ ∠B = ∠ACF.
∵ ∠BAC = 60°,即∠BAE + ∠EAC = 60°,∠EAF = 60°,即∠EAC + ∠CAF = 60°,
∴ ∠BAE = ∠CAF. 在△ABE与△ACF中,
∵ ∠B = ∠ACF,AB = AC,∠BAE = ∠CAF,
∴ △ABE≅△ACF,
∴ AE = AF. 又
∵ ∠EAF = 60°,
∴ △AEF是等边三角形,
∴ ∠AFE = 60°. 又
∵ ∠AFD = 180° - ∠FAD - ∠D = 75°,
∴ ∠CFE = 45°