《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

3. 模具厂计划生产面积为 $ 4 $，周长为 $ m $ 的矩形模具。对于 $ m $ 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
(1)建立函数模型：设矩形相邻两边的长分别为 $ x $，$ y $。由矩形的面积为 $ 4 $，得 $ xy = 4 $，即 $ y = \frac{4}{x} $；由周长为 $ m $，得 $ 2(x + y) = m $，即 $ y = \frac{m}{2} - x $。满足要求的 $ (x, y) $ 应是两个函数的图象在第一象限内交点的坐标。
(2)画出函数图象：函数 $ y = \frac{4}{x} (x ＞ 0) $ 的图象如图所示，而函数 $ y = -x + \frac{m}{2} $ 的图象可由直线 $ y = -x $ 平移得到，请在同一平面直角坐标系中，直接画出直线 $ y = -x $。
(3)平移直线 $ y = -x $，观察函数图象：① 当直线平移到与函数 $ y = \frac{4}{x} (x ＞ 0) $ 的图象有唯一交点 $ (2, 2) $ 时，周长 $ m $ 的值为8；② 在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 $ m $ 的取值范围。
(4)得出结论：若能生产出面积为 $ 4 $ 的矩形模具，则周长 $ m $ 的取值范围为$m\geq8$。

答案：
3.
(1)一　
(2)图象如图所示　
(3)①8　②在直线平移过程中，交点还有0个、2个两种情况:当有0个交点时,$0 ＜ m ＜ 8$;当有2个交点时,$m ＞ 8$　
(4)$m\geq8$