《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

8. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $BC$ 上一点，$DF\perp AE$ 于点 $F$。
(1) $\triangle ABE$ 与 $\triangle DFA$ 相似吗？请说明理由。
(2) 若 $AB = 6$，$AD = 12$，$BE = 8$，求 $DF$ 的长。
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答案： 8.
(1)相似. 理由:
∵ ∠B = ∠AFD, ∠AEB = ∠FAD,
∴ △ABE∽△DFA
(2)7.2

1. (2024·德阳中考) 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，点 $F$ 为 $BC$ 的中点，连接 $AF$ 与 $BD$ 相交于点 $E$，连接 $CE$ 并延长交 $AB$ 于点 $G$。
(1) 证明：$\triangle BEF\sim\triangle BCO$；
(2) 证明：$\triangle BEG\cong\triangle AEG$。
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答案： 1.
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB = BC, AC ⊥ BD. 又
∵ ∠ABC = 60°,
∴ △ABC是等边三角形.
∴ AB = AC.
∵ 点F为BC的中点,
∴ AF ⊥ BC.
∴ ∠BOC = ∠BFE = 90°. 又
∵ ∠EBF = ∠CBO,
∴ △BEF∽△BCO
(2)
∵ BO ⊥ AC, AF ⊥ BC,
∴ CG ⊥ AB.
∴ ∠BGE = ∠AGE. 又
∵ AC = BC,
∴ BG = AG. 在△BEG和△AEG中, BG = AG, ∠BGE = ∠AGE, GE = GE,
∴ △BEG≌△AEG(SAS)

2. 如图，在线段 $DE$ 的同侧有等边三角形 $ACD$ 和等边三角形 $CBE$，且 $AE$，$BD$ 相交于点 $H$，$BC$，$AE$ 相交于点 $M$。
(1) $\triangle ACE$ 与 $\triangle DCB$ 全等吗？请说明理由。
(2) $\triangle ADH$ 与 $\triangle AED$ 相似吗？请说明理由。
(3) 证明：$BE^{2}=DE· BM$。
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答案： 2.
(1)△ACE≌△DCB. 理由:
∵ DC = AC, CB = CE,
∴ ∠ACE = ∠DCB = 120°, 故△ACE≌△DCB
(2)△ADH∽△AED. 理由: 由
(1)可知∠AEC = ∠DBC, 又
∵ ∠ECB = ∠ADC = 60°,
∴ CB//AD, 从而∠ADH = ∠DBC,
∴ ∠ADH = ∠AED. 又
∵ ∠DAH = ∠EAD,
∴ △ADH∽△AED
(3)提示: 证明△BEM∽△EDB即可