《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. (2022·德州中考)如图，线段AB，CD的端点坐标分别为A(-1,2)，B(3,-1)，C(3,2)，D(-1,5)，且AB//CD. 将CD平移至第一象限内，得到C'D'(点C'，D'均在格点上). 若四边形ABC'D'是菱形，则所有满足条件的点D'的坐标为(3,5)或(2,6).

2. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)求证：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
(2)若AB//CD，求证：四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由.

答案： 1. (3,5)或(2,6)
2.
(1)在△ABC和△ADC中,AB = AD,BC = DC,AC = AC,
∴ △ABC≅△ADC,
∴ ∠BAC = ∠DAC. 在△ABF和△ADF中,AB = AD,∠BAF = ∠DAF,AF = AF,
∴ △ABF≅△ADF,
∴ ∠AFD = ∠AFB.
∵ ∠AFB = ∠CFE,
∴ ∠AFD = ∠CFE
(2)
∵ AB // CD,
∴ ∠BAC = ∠ACD. 又
∵ ∠BAC = ∠DAC,
∴ ∠CAD = ∠ACD,
∴ AD = CD.
∵ AB = AD,CB = CD,
∴ AB = CB = CD = AD,
∴ 四边形ABCD是菱形
(3)当EB ⊥ CD时,∠EFD = ∠BCD. 理由:
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ BC = CD,∠BCF = ∠DCF. 在△BCF和△DCF中,BC = CD,∠BCF = ∠DCF,CF = CF,
∴ △BCF≅△DCF,
∴ ∠CBF = ∠CDF.
∵ BE ⊥ CD,
∴ ∠BEC = ∠DEF = 90°,
∴ ∠EFD = ∠BCD

2. 矩形的性质：(1)矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质；(2)矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线相等.

答案： 2.
(1)平行四边形 平行四边形
(2)直角
(3)相等

3. 矩形的周长等于长与宽的和的2倍，面积等于长×宽.

答案： 3.长与宽的和的2倍 长×宽

4. 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴.

答案： 4.轴 中心 两