《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. (2024·重庆中考)如图,在边长为 $4$ 的正方形 $ABCD$ 中,点 $E$ 是 $BC$ 上一点,点 $F$ 是 $CD$ 延长线上一点,连接 $AE$,$AF$,$AM$ 平分 $\angle EAF$ 交 $CD$ 于点 $M$. 若 $BE = DF = 1$,则 $DM$ 的长度为(D).

A.$2$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\dfrac{12}{5}$

答案： 1.D

2. 如图,正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,点 $E$ 是 $AC$ 上的一点,连接 $EB$,过点 $A$ 作 $AM \perp BE$,垂足为 $M$,$AM$ 与 $BD$ 相交于点 $F$.
(1)猜想:如图①,线段 $OE$ 与线段 $OF$ 的数量关系为OE=OF.
(2)拓展:如图②,若点 $E$ 在 $AC$ 的延长线上,$AM \perp BE$ 于点 $M$,$AM$,$DB$ 的延长线相交于点 $F$,其他条件不变,(1)的结论还成立吗? 如果成立,请仅就图②给出证明;如果不成立,请说明理由.

答案： 2.
(1)OE=OF
(2)成立.证明如下:在正方形ABCD中,∠AOF=∠BOE=90°,OA=OB.
∵∠ABC=90°,
∴∠EBC+∠ABM=90°.
∵AM⊥BE,
∴∠ABM+∠BAF=90°.
∴∠EBC=∠BAF.又
∵∠OAB=∠OBC=45°,
∴∠OAF=∠OBE.
∴△AOF≌△BOE(ASA),
∴OE=OF

3. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$M$ 是 $AB$ 的中点,$E$ 是 $AB$ 延长线上的一点,$MN \perp DM$ 交 $\angle CBE$ 的平分线于点 $N$.
(1)求证:$MD = MN$.
(2)若将上述条件中的“$M$ 是 $AB$ 的中点”改为“$M$ 是 $AB$ 上任意一点”,其余条件不变,则结论“$MD = MN$”还成立吗? 请说明理由.

答案： 3.
(1)证明略 提示:取AD的中点P,连接PM.证明△DPM≌△MBN
(2)成立.理由略 提示:在AD上截取AP=AM,解题过程同
(1)