《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

3. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$CD$ 是斜边 $AB$ 上的高，该图中共有 $x$ 个三角形与 $\triangle ABC$ 相似，则 $x$ 的值为(B)。

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 3.B

4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$BC = 10$，点 $E$ 在 $BC$ 边上，$DF\perp AE$，垂足为 $F$。若 $DF = 6$，则线段 $EF$ 的长为(B)。

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 4.B

5. (1) 如图①，在 $\triangle ABC$ 中，$DE// BC$，$AD = 3$ cm，$BD = 2$ cm，$\triangle ADE$ 与 $\triangle ABC$ 是否相似：相似，若相似，相似比是3:5。
(2) 如图②，在 $\triangle ABC$ 中，$D$，$E$ 分别为 $AB$，$AC$ 边上的点，请你添加一个条件，使 $\triangle ADE\sim\triangle ACB$，你添加的条件是∠C = ∠ADE(或∠B = ∠AED)。(填上你认为正确的一种情况即可)
(3) 如图③，在测量小玻璃管口径的量具 $ABC$ 中，$AB$ 的长是 $10$ mm，$AC$ 被分成 $60$ 等份。如果小管口 $DE$ 正好对着量具上 $30$ 份处($DE// AB$)，那么小管口径 $DE$ 的长是5mm。
]

答案： 5.
(1)相似　3:5
(2)∠C = ∠ADE(或∠B = ∠AED)
(3)5mm

6. 如图，长梯 $AB$ 斜靠在墙壁上，梯脚 $B$ 距墙 $80$ cm，梯上一点 $D$ 距墙 $70$ cm，量得 $BD$ 的长为 $55$ cm，求梯子的长。

答案： 6.梯子的长为440cm

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 为 $BC$ 边上的中线，$DE\perp AB$ 于点 $E$。
(1) 求证：$\triangle BDE\sim\triangle CAD$；
(2) 若 $AB = 13$，$BC = 10$，求线段 $DE$ 的长。
]

答案： 7.
(1)
∵ AB = AC, AD为BC边上的中线,
∴ AD ⊥ BC, ∠B = ∠C.
∵ DE ⊥ AB,
∴ ∠DEB = ∠ADC = 90°,
∴ △BDE∽△CAD
(2)
∵ AD为BC边上的中线,
∴ BD = $\frac{1}{2}$BC = 5. 由
(1)得AD ⊥ BC, 在Rt△ADB中, 由勾股定理可得AD = $\sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$.
∵ $S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2} · AD · BD = \frac{1}{2} · AB · DE$,
∴ 12 × 5 = 13DE,
∴ DE = $\frac{60}{13}$