《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，在$□ ABCD$中，$AB = 10$，$AD = 15$，$\angle BAD$的平分线交$BC$于点$E$，交$DC$的延长线于点$F$，$BG\perp AE$于点$G$.若$BG = 8$，则$\triangle CEF$的周长为(A).

A.16
B.17
C.24
D.25

答案： 1. A 提示:
∵在▱ABCD中，CD = AB = 10，BC = AD = 15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB//DC，∠BAF = ∠DAF，
∴∠BAF = ∠F，
∴∠DAF = ∠F，
∴DF = AD = 15。同理BE = AB = 10，故CF = DF - CD = 15 - 10 = 5。
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB = 10，BG = 8，
∴AG = $\sqrt{AB^{2}-BG^{2}}$ = 6，
∴AE = 2AG = 12，
∴△ABE的周长等于32。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5:10 = 1:2，
∴△CEF的周长为16

2. 如图，点$F$是$□ ABCD$的边$CD$上的一点，连接$BF$并延长，交$AD$的延长线于点$E$.求证：$\frac{DE}{AE} = \frac{DF}{DC}$.

答案： 2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，即DF//AB，
∴在△ABE中，$\frac{DE}{AD}=\frac{EF}{BF}$，
∴$\frac{DE}{AD + DE}=\frac{EF}{EF + BF}$，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{EF}{EB}$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即DE//BC，
∴$\frac{EF}{EB}=\frac{DF}{DC}$，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{DF}{DC}$

3. 如图，在$□ ABCD$中，$E$为$AB$边的中点，$\frac{AF}{FD} = \frac{1}{2}$，$FE$与$AC$相交于点$G$，求证：$AG = \frac{1}{4}GC$.

答案：
3. 延长FE交CB的延长线于点H，如图所示，易得△AEF≌△BEH，$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{HC}$。
∵$\frac{AF}{FD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{HC}=\frac{1}{4}$，
∴AG = $\frac{1}{4}$GC
　　　　　　　

2. 任意两个等边三角形相似；任意两个正方形相似；任意两个菱形不相似；任意两个正$n$边形相似.(均填“相似”或“不相似”)

答案： 2.相似 相似 不相似 相似