《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x - 3 = 0 $ 的两实数根为 $ x_{1},x_{2} $，则 $ x_{1}+x_{2} $ 的值是(C).

A.$ 3 $
B.$ -3 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $

答案： 1 C

2. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+5x - m = 0 $ 的一个根是 $ x = 2 $，则另一个根是(A).

A.$ x = -7 $
B.$ x = 7 $
C.$ x = 3 $
D.$ x = -3 $

答案： 2 A

3. (2024·凉山州中考)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a + 2)x^{2}+x + a^{2}-4 = 0 $ 的一个根是 $ x = 0 $，则 $ a $ 的值为(A).

A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ 2 $ 或 $ -2 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 3 A

4. 已知实数 $ x_{1},x_{2} $ 满足 $ x_{1}+x_{2} = 7,x_{1}x_{2} = 12 $，则以 $ x_{1},x_{2} $ 为根的一元二次方程可以是(A).

A.$ x^{2}-7x + 12 = 0 $
B.$ x^{2}+7x + 12 = 0 $
C.$ x^{2}+7x - 12 = 0 $
D.$ x^{2}-7x - 12 = 0 $

答案： 4 A

5. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2(m - 1)x + m^{2} = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $，且 $ x_{1}+x_{2} ＞ 0,x_{1}x_{2} ＞ 0 $，则 $ m $ 的取值范围是 (B).

A.$ m \leq \frac{1}{2} $
B.$ m \leq \frac{1}{2} $ 且 $ m \neq 0 $
C.$ m ＜ 1 $
D.$ m ＜ 1 $ 且 $ m \neq 0 $

答案： 5 B

6. 关于 $ x $ 的方程 $ (x - 1)(x + 2) = p^{2} $($ p $ 为常数)的根的情况，下列结论正确的是(C).

A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根

答案： 6 C

7. 在解方程 $ x^{2}+px + q = 0 $ 时，甲同学看错了 $ p $，解得方程的根为 $ x = 1 $ 与 $ x = -3 $；乙同学看错了 $ q $，解得方程的根为 $ x = 4 $ 与 $ x = -2 $，你认为方程中的 $ p = $-2，$ q = $-3.

答案： 7 -2 -3

8. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-3mx + 2(m - 1) = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $，且 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} = -\frac{3}{4} $，则 $ m = $$\frac{1}{3}$.

答案： $8 \frac{1}{3}$

9. 若一元二次方程 $ x^{2}-4x + 2 = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $，则 $ x_{1}^{2}-4x_{1}+2x_{1}x_{2} $ 的值为2.

答案： 9 2

10. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+\sqrt{2}x + a = 0 $ 的一个根是 $ x = 1-\sqrt{2} $，那么另一个根是x = -1，$ a $ 的值为$\sqrt{2} - 1$.

答案： $10 x = -1 \sqrt{2} - 1$

11. (2024·遂宁中考)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0 $.
(1) 求证：无论 $ m $ 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2) 如果方程的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $，且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2} = 9 $，求 $ m $ 的值.

答案： $11 (1)x^{2} - (m + 2)x + m - 1 = 0,$这里a = 1,b = -(m + 2),
$c = m - 1,\Delta = b^{2} - 4ac = [-(m + 2)]^{2} - 4×1×(m - 1) = m^{2} + 8.\because m^{2}\geq0,\therefore\Delta＞0.\therefore$无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根
(2)设方程$x^{2} - (m + 2)x + m - 1 = 0$的两个实数根为$x_{1},x_{2},$则$x_{1} + x_{2} = m + 2,x_{1}x_{2} = m - 1.\because x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1}x_{2} = 9,$即$(x_{1} + x_{2})^{2} - 3x_{1}x_{2} = 9,\therefore(m + 2)^{2} - 3(m - 1) = 9.$整理,得$m^{2} + m - 2 = 0.\therefore(m + 2)(m - 1) = 0.$解得$m_{1} = -2,m_{2} = 1.\therefore m$的值为-2或1