《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. (2023·云南中考)数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性，形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性. 数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系. 数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题. 同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题.
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点. 设函数 $ y = (4a + 2)x^{2}+(9 - 6a)x - 4a + 4 $(实数 $ a $ 为常数)的图象为图象 $ T $.
(1)求证：无论 $ a $ 取什么实数，图象 $ T $ 与 $ x $ 轴总有公共点.
(2)是否存在整数 $ a $，使图象 $ T $ 与 $ x $ 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数 $ a $ 的值；若不存在，请说明理由.

答案： 1.
(1)证明略 提示：当$a = -\frac{1}{2}$时，y = 12x + 6. 将y = 0代入y = 12x + 6，得$x = -\frac{1}{2}. $
∴图象 T 与x轴有交点；当$a ≠ -\frac{1}{2}$时，$y = (4a + 2)x^{2} + (9 - 6a)x - 4a + 4. $
∵$△ = (9 - 6a)^{2} - 4(4a + 2)(-4a + 4) = (10a - 7)^{2} ≥ 0，$
∴图象 T 与x轴有交点.
∴无论a取什么实数，图象 T 与x轴总有公共点
(2)存在整数a，使图象 T 与x轴的公共点中有整点. 由
(1)知，当$a = -\frac{1}{2}$时，不符合题意；当$a ≠ -\frac{1}{2}$时，将y = 0代入$y = (4a + 2)x^{2} + (9 - 6a)x - 4a + 4，$得$(4a + 2)x^{2} + (9 - 6a)x - 4a + 4 = 0. $解得$x_{1} = -\frac{1}{2}，$$x_{2} = \frac{4a - 4}{2a + 1}. $
∴$x_{2} = \frac{4a - 4}{2a + 1} = 2 - \frac{6}{2a + 1}. $
∵图象 T 与x轴的公共点中有整点，
∴2a + 1 = ±1 或±2 或±3 或±6. 从而可得所有整数a的值为-2或-1或0或1

2. (2022·安顺中考)在平面直角坐标系中，若点 $ P $ 的横坐标和纵坐标相等，则称点 $ P $ 为和谐点. 例如，点 $ (1,1) $，$ (\frac{1}{2},\frac{1}{2}) $，$ (-\sqrt{2},-\sqrt{2}) $ 都是和谐点.
(1)判断函数 $ y = 2x + 1 $ 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标.
(2)若二次函数 $ y = ax^{2}+6x + c(a \neq 0) $ 的图象上有且只有一个和谐点 $ (\frac{5}{2},\frac{5}{2}) $.
①求 $ a,c $ 的值；
②当 $ 1 \leq x \leq m $ 时，函数 $ y = ax^{2}+6x + c + \frac{1}{4}(a \neq 0) $ 的最小值为 $ -1 $，最大值为 $ 3 $，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 2.
(1)存在和谐点，和谐点的坐标为(-1,-1)
(2)①a的值为-1，c的值为$-\frac{25}{4} $提示：将$(\frac{5}{2},\frac{5}{2})$代入$y = ax^{2} + 6x + c，$得$\frac{5}{2} = \frac{25}{4}a + 15 + c. $利用二次函数$y = ax^{2} + 6x + c$的图象上有且只有一个和谐点，可得到$ax^{2} + 6x + c = x$有两个相等的实数根.
∴△ = 25 - 4ac = 0. 从而可求出a,c的值 ②实数m的取值范围为3 ≤ m ≤ 5 提示：易得$y = -x^{2} + 6x - 6. $
∴该抛物线的对称轴为直线x = 3.
∴当x = 3时，y的最大值为3；当x = 1时，y = -1；当x = 5时，y = -1. 从而可得到实数m的取值范围