《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

9. （2022·河南中考）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头$P$距地面$0.7$m，水柱在距喷水头$P$水平距离$5$m处达到最高，最高点距地面$3.2$m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为$y = a(x - h)^{2}+k$，其中$x$（$m$）是水柱距喷水头$P$的水平距离，$y$（$m$）是水柱距地面的高度.
（1）求抛物线的表达式.
（2）小红的爸爸站在水柱正下方，且距喷水头$P$水平距离$3$m. 身高$1.6$m的小红在水柱正下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.

答案： 9.
(1)抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{10}x^{2} + x + \frac{7}{10}$
(2)当y = 1.6时，$-\frac{1}{10}x^{2} + x + \frac{7}{10} = 1.6，$解得$x_{1} = 1,x_{2} = 9，$
∴她与爸爸的水平距离为3 - 1 = 2(m)或9 - 3 = 6(m).答：当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离是2m或6m

10. （2023·河南中考）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.
如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$C$在$x$轴上，球网$AB$与$y$轴的水平距离$OA = 3$m，$CA = 2$m，击球点$P$在$y$轴上. 若选择扣球，羽毛球的飞行高度$y$（$m$）与水平距离$x$（$m$）之间近似满足一次函数关系$y = -0.4x + 2.8$；若选择吊球，羽毛球的飞行高度$y$（$m$）与水平距离$x$（$m$）之间近似满足二次函数关系$y = a(x - 1)^{2}+3.2$.
（1）求点$P$的坐标和$a$的值.
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网. 要使球的落地点到$C$点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.

答案： 10.
(1)点P的坐标为(0,2.8)，a的值为 - 0.4
(2)应选择吊球 提示：易得C(5,0).将y = 0代入y = -0.4x + 2.8，得x = 7.
∴扣球的落地点到点C的距离为7 - 5 = 2(m).将y = 0代入$y = -0.4(x - 1)^{2} + 3.2，$得$x_{1} = -2\sqrt{2} + 1($舍去)，$x_{2} = 2\sqrt{2} + 1.$
∴吊球的落地点到点C的距离为$5 - (2\sqrt{2} + 1) = (4 - 2\sqrt{2})m.$
∵$2 - (4 - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2 ＞ 0，$
∴$2 ＞ (4 - 2\sqrt{2}).$
∴应选择吊球