《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

5. (2023·宁波中考)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图①所示。
(1)如图②，在 P 点观察所测物体最高点 C，当量角器零刻度线上 A，B 两点均在视线 PC 上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 α，设仰角为 β，请直接用含 α 的代数式表示 β；
(2)如图③，为了测量广场上空气球 A 离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 B，C 分别测得气球 A 的仰角∠ABD 为 37°，∠ACD 为 45°，地面上点 B，C，D 在同一水平直线上，BC = 20 m，求气球 A 离地面的高度 AD。(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)

答案： $5.(1)\beta = 90^{\circ} - \alpha (2)$气球A离地面的高度AD为60m

(2022·阜新中考)如图，小文在数学综合与实践活动中，利用所学的数学知识，测量居民楼的高度 AB。在居民楼前方有一斜坡，坡长 CD = 15 m，坡角为 α，cos α = $\frac{4}{5}$。小文在 C 处测得居民楼顶端 A 的仰角为 60°，在 D 处测得居民楼顶端 A 的仰角为 30°，点 A，B，C，D 在同一竖直平面内。(结果精确到 1 m；参考数据：$\sqrt{3}$≈1.7)
(1)求 C，D 两处的高度差；
(2)求居民楼的高度 AB。

答案：
(1)C,D两处的高度差为9m
(2)居民楼的高度AB约为
24m 提示:过点D作DE⊥BC于点E,DF⊥AB于点F.设
AF = xm.在Rt△ADF中,利用$\tan \angle ADF = \frac{AF}{DF},$可得DF =
$\sqrt{3}xm \therefore AB = (x + 9)m,BC = (\sqrt{3}x - 12)m.$在Rt△ABC中,利
用$\tan \angle ACB = \frac{AB}{BC},$可求出x的值.从而可得到居民楼的高度