《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

22. 如图，直线 $y = x + b(b\neq0)$ 交坐标轴于 $A,B$ 两点，交反比例函数 $y=\frac{2}{x}(x ＞ 0)$ 的图象于点 $D$，过点 $D$ 作两坐标轴的垂线 $DC,DE$，垂足分别为 $C,E$，连接 $OD$。
(1)求证：$DA$ 平分 $\angle CDE$。
(2)对任意的实数 $b(b\neq0)$，求证：$AD· BD$ 为定值。
(3)是否存在直线 $AB$，使得四边形 $OBCD$ 为平行四边形？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由。

答案：
(1)由$y = x + b$得$A(-b,0)$,$B(0,b)$,即可得到$\angle DAC = \angle OAB = 45^{\circ}$,再结合$DC \perp x$轴,$DE \perp y$轴可证得$\angle ACD = \angle CDE = 90^{\circ}$,从而可得结论　
(2)由
(1)知$\triangle ACD$和$\triangle BDE$均为等腰直角三角形,即可证得$AD = \sqrt{2}CD$,$BD = \sqrt{2}DE$,则可得$AD · BD = 2CD · DE = 2 × 2 = 4$,为定值　
(3)存在.$y = x - 1$

23. (2022·通辽中考)在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是其对角线 $AC$ 上一点，正方形 $AFEG$ 与正方形 $ABCD$ 有公共点 $A$。
(1)如图①，当点 $G,F$ 分别在 $AD,AB$ 上，求 $\frac{2CE}{\sqrt{2}DG}$ 的值；
(2)如图②，将正方形 $AFEG$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$，求 $\frac{CE}{DG}$ 的值；
(3)如图②，将正方形 $AFEG$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜360^{\circ})$，若 $AB = 8\sqrt{2}$，$AG=\frac{\sqrt{2}}{2}AD$，请直接写出当 $C,G,E$ 三点共线时 $DG$ 的长。

答案：
(1)$\frac{2CE}{\sqrt{2}DG}$的值为2
(2)$\frac{CE}{DG}$的值为$\sqrt{2}$ 提示:易得$\triangle ACE \sim \triangle ADG$,$\therefore \frac{CE}{DG} = \frac{AC}{AD}$.
∵$\frac{AC}{AD} = \sqrt{2}$,$\therefore \frac{CE}{DG} = \sqrt{2}$　
(3)$DG$的长为$4\sqrt{6} - 4\sqrt{2}$或$4\sqrt{6} + 4\sqrt{2}$