《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

5. 某电力公司的标识及结构图如图所示，设计者用一大一小两颗星巧妙地重叠组合，自然地把高压输电塔与五角星联系在一起，那么结构图中的两个阴影三角形的面积之比 $\frac{S_{小}}{S_{大}}$ 为(D)。

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

答案： 5.D

6. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ (约为 $0.618$) 的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感。我们可以用如下的方法画出黄金矩形：如图，作正方形 $ABCD$，分别取 $AD$，$BC$ 的中点 $E$，$F$，连接 $EF$；以点 $F$ 为圆心，以 $FD$ 为半径画弧，交 $BC$ 的延长线于点 $G$；作 $GH\perp AD$，交 $AD$ 的延长线于点 $H$。则下列矩形是黄金矩形的是(D)。

A.矩形 $ABFE$
B.矩形 $EFCD$
C.矩形 $EFGH$
D.矩形 $DCGH$

答案： 6.D

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 36^{\circ}$，$AB = AC$，$BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线，设 $CD = a$，$BC = b$，$AB = c$。
(1) $a$，$b$，$c$ 之间有什么关系？写出你的结论，并说明理由。
(2) 点 $D$ 是 $AC$ 的黄金分割点吗？请说明理由。

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答案： 7.
(1)$b^2 = ac$. 理由: △BCD∽△ABC ⇒ $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$
(2)点D是AC的黄金分割点, 理由略

已知线段 $MN = 1$，在 $MN$ 上有一点 $A$，如果 $AN=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，求证：点 $A$ 是 $MN$ 的黄金分割点。

答案：
∵ MN = 1, AN = $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$,
∴ AM = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$, 故AN:AM = $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}:\frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}:1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$,
∴ AN:AM = AM:MN,
∴ 点A是MN的黄金分割点