《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

18. (2024·上海中考)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 为边 $CD$ 上一点，且 $AE\perp BD$。
(1)求证：$AD^{2}=DE· DC$；
(2)$F$ 为线段 $AE$ 延长线上一点，且满足 $EF = CF=\frac{1}{2}BD$，求证：$CE = AD$。

答案：
(1)在矩形ABCD中,∠BAD = 90°,∠ADE = 90°,AB = DC,
∴∠ABD + ∠ADB = 90°.
∵AE⊥BD,
∴∠DAE + ∠ADB = 90°.
∴∠ABD = ∠DAE.
∵∠BAD = ∠ADE = 90°,
∴△ADE∽△BAD.
∴$\frac{AD}{BA} = \frac{DE}{AD}$
∴$AD^{2} = DE · BA$.
∵AB = DC,
∴$AD^{2} = DE · DC$　
(2)连接AC,交BD于点O.在矩形ABCD中,∠ADE = 90°,
∴∠DAE + ∠AED = 90°.
∵AE⊥BD,
∴∠DAE + ∠ADB = 90°.
∴∠ADB = ∠AED.
∵∠FEC = ∠AED,
∴∠ADO = ∠FEC.在矩形ABCD中,$OA = OD = \frac{1}{2}BD$.
∵$EF = CF = \frac{1}{2}BD$,
∴$OA = OD = EF = CF$.
∴∠ADO = ∠OAD,∠FEC = ∠FCE.
∵∠ADO = ∠FEC,
∴∠OAD = ∠FEC = ∠FCE.在△ODA和△FEC中,∠ODA = ∠FEC,∠OAD = ∠FCE,OD = FE,
∴△ODA≌△FEC(AAS).
∴CE = AD

19. 如图，在长为 $32m$、宽为 $20m$ 的矩形地面修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 $540m^{2}$，求道路的宽。

答案：
由题意将原题中的图转化为下图，设道路宽为$x$m,根据题意
　　　　　　　　　　　　　　　　 可列出方程$(20 - x)(32 - x) = 540$,整理
得$x^{2} - 52x + 100 = 0$,解得$x_1 = 50$(舍去),$x_2 = 2$,即道路的宽为2m

20. (2025·郑州二模)如图，已知一次函数 $y_{1}=\frac{3}{2}x$ 与反比例函数 $y_{2}=\frac{k}{x}(k\neq0)$ 的图象相交于点 $A(m,3)$。
(1)$m$ 的值为2，$k$ 的值为6；
(2)直接写出 $y_{1}＞y_{2}$ 时自变量 $x$ 的取值范围；
(3)以 $OA$ 为边，在直线 $OA$ 的下方作正方形 $OABC$，请通过计算判断点 $B$ 是否落在反比例函数 $y_{2}=\frac{k}{x}(k\neq0)$ 上。

答案：

(1)2　6　
(2)$x ＞ 2$或$-2 ＜ x ＜ 0$　
(3)如图,作$AM \perp y$轴,垂足为$M$,$BN \perp AM$交$MA$的延长线于点$N$.在
　　　　　　　　　　　　　　　　　 △OMA和△ANB中,∠OMA = ∠ANB = 90°,∠MOA = ∠NAB,OA = AB,
∴△OMA≌△ANB(AAS).
∴OM = AN = 3,AM = NB = 2,
∴B(5,1),在反比例函数$y = \frac{6}{x}$中,当$x = 5$时,$y = \frac{6}{5} \neq 1$,
∴点B(5,1)不在反比例函数图象上

21. (2022·枣庄中考)如图①，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 4cm$。点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 以 $\sqrt{2}cm/s$ 的速度向点 $B$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发沿 $BC$ 以 $1cm/s$ 的速度向点 $C$ 运动，设运动的时间为 $t s$。
(1)若 $PQ\perp BC$，求 $t$ 的值；
(2)如图②，将 $\triangle PQC$ 沿 $BC$ 翻折得到 $\triangle P'QC$，当 $t$ 为何值时，四边形 $QPCP'$ 为菱形？

答案：
(1)$t = 2$ 提示:易得$BQ = t$cm,$BP = (4\sqrt{2} - \sqrt{2}t)$cm.由$PQ// AC$可得,$\frac{BP}{BA} = \frac{BQ}{BC}$,从而可求出$t$的值　
(2)当$t$的值为$\frac{4}{3}$时，四边形$QPCP'$为菱形　提示:过点$P$作$PD \perp BC$于点$D$,$PE \perp AC$于点$E$,易得$AP = \sqrt{2}t$cm,$BQ = t$cm.
∴$QC = (4 - t)$cm.在$Rt\triangle APE$中,易得$PE = AE = t$cm.
∴$CD = PE = t$cm.由四边形$QPCP'$为菱形可知,$QC = 2CD$.
∴$4 - t = 2t$,从而可求出$t$的值