《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. 在 $\triangle ABC$ 中，若 $\left| \cos A - \frac{1}{2} \right| + (1 - \tan B)^2 = 0$，则 $\angle C$ 的度数是(C)。

A.$45^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$105^{\circ}$

答案： 1.C

2. 在正方形网格中，$\triangle ABC$ 的位置如图所示，则 $\cos B$ 的值为(B)。

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 2.B

3. 如图，运载火箭从地面 $L$ 处垂直向上发射，当火箭到达 $A$ 点时，从位于地面 $R$ 处的雷达测得 $A$、$R$ 的距离是 $40$ km，仰角是 $30^{\circ}$，$n$ s 后，火箭到达 $B$ 点，此时仰角是 $45^{\circ}$，则火箭在这 $n$ s 中上升的高度是$(20\sqrt{3}-20)$km。
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答案： 3. $(20\sqrt{3}-20)$

4. 在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸 $EF // MN$，小聪在河岸 $MN$ 上点 $A$ 处用测角仪测得河对岸小树 $C$ 位于东北方向，然后沿河岸走了 $30$ m 到达 $B$ 处，测得河对岸电线杆 $D$ 位于北偏东 $30^{\circ}$方向，此时，其他同学测得 $CD = 10$ m。根据这些数据可计算出河的宽度为$(30 + 10\sqrt{3})$m。（结果保留根号）
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答案： 4. $(30 + 10\sqrt{3})$

5. (2022·西藏中考)某班学生在一次综合与实践课上，测量校园内一棵树的高度。如图，测量仪在 $A$ 处测得树顶 $D$ 的仰角为 $45^{\circ}$，在 $C$ 处测得树顶 $D$ 的仰角为 $37^{\circ}$（点 $A$，$B$，$C$ 在同一条水平直线上）。已知测量仪的高 $AE = CF = 1.6$ m，$AC = 28$ m，求树 $BD$ 的高度。（结果精确到 $0.1$ m；参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$）
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答案： 设BD为树高，BG=1.6m（测量仪高度），GD=BD-BG=BD-1.6m。
设AB=x m，则BC=AC-AB=(28-x)m。
在Rt△DEG中，∠DEG=45°，tan45°=GD/EG=1，EG=AB=x，故GD=x。
在Rt△DFG中，∠DFG=37°，tan37°=GD/FG≈0.75，FG=BC=28-x，故GD≈0.75(28-x)。
联立得x=0.75(28-x)，解得x=12。
GD=12m，BD=GD+BG=12+1.6=13.6m。
13.6