《2025年新课程同步学案九年级数学全一册北师大版》

1. (2022·攀枝花中考)如图,以 $\triangle ABC$ 的三边为边在 $BC$ 的上方分别作等边三角形 $ACD$、等边三角形 $ABE$、等边三角形 $BCF$,且点 $A$ 在 $\triangle BCF$ 内部. 给出以下结论:①四边形 $ADFE$ 是平行四边形;②当 $\angle BAC = 150°$ 时,四边形 $ADFE$ 是矩形;③当 $AB = AC$ 时,四边形 $ADFE$ 是菱形;④当 $AB = AC$,且 $\angle BAC = 150°$ 时,四边形 $ADFE$ 是正方形. 其中,正确的结论有①②③④.(填序号)

答案： 1.①②③④

2. (1)如图①,在正方形 $ABCD$ 中,$\angle EAF = 45°$,且 $AF$ 交 $BC$ 于点 $F$,$AE$ 交 $CD$ 于点 $E$,$AG$ 为 $\triangle AEF$ 的高,有下列结论:① $EF = BF + DE$;② $S_{\triangle AEF} = S_{\triangle ABF} + S_{\triangle ADE}$;③ $AB = AG$;④ $BF = FG$,$DE = GE$. 其中正确的有①②③④.(填序号)
(2)如图②,在正方形 $ABCD$ 中,$\angle EAF = 45°$,$AE$,$AF$ 分别交 $BC$,$CD$ 所在直线于点 $E$,$F$,求 $EF$,$BE$,$DF$ 之间的数量关系.
(3)如图③,在 $\triangle AEF$ 中,$\angle EAF = 45°$,$AG$ 为 $\triangle AEF$ 的高,若 $FG = 2$,$EG = 3$,求 $AG$ 的长.
(4)如图④,在等腰直角三角形 $ABC$ 中,$\angle ACB = 90°$,$\angle ECF = 45°$,$CE$,$CF$ 分别交 $AB$ 边于点 $E$,$F$,求 $AE$,$EF$,$BF$ 之间的数量关系.
(5)在(4) 的条件下,若 $AC = 6$,$AE = 2\sqrt{2}$,求 $EF$ 的长.
[提示:解方程 $ax^2 + bx + c = 0$($a \neq 0$,$b^2 - 4ac \geqslant 0$)时,可用公式 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$]

答案： $2.(1)①②③④ (2)BE+EF=DF (3)6 (4)AE²+BF²=EF² (5)\frac{5\sqrt{2}}{2}$