《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

17. （14 分）如图，$ AB = AD $，$ \angle BAD = 60^{\circ} $，$ \angle BCD = 120^{\circ} $，延长 $ BC $，使 $ CE = CD $，连接 $ DE $，求证：$ AC = BC + DC $。

答案：
17.证明:连接BD，
∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是等边三角形.
∵∠BCD=120°,
∴∠DCE=180° - ∠BCD=180° - 120°=60°.
∵CE=CD,
∴△DCE是等边三角形.
∵△ABD和△DCE是等边三角形，
∴AD=BD,CD=DE,∠ADB=∠CDE=60°.
∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC.
即∠ADC=∠BDE.
在△ADC和△BDE中，
$\begin{cases}AD = BD,\\∠ADC = ∠BDE,\\DC = DE.\end{cases}$
∴△ADC≌△BDE.
∴AC=BE=BC+CE=BC+DC.

18. (14 分)数学课上，李老师出示了如框图中的题目。

在等边三角形 $ ABC $ 中，点 $ E $ 在 $ AB $ 上，点 $ D $ 在 $ CB $ 的延长线上，且 $ ED = EC $，如图，试确定线段 $ AE $ 与 $ DB $ 的大小关系，并说明理由。

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论：当点 $ E $ 为 $ AB $ 的中点时，如图 1，确定线段 $ AE $ 与 $ DB $ 的大小关系，请你直接写出结论：$ AE $=$ BD $。(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
(2)特例启发，解答题目：
① 如图 2，$ AE $ 与 $ DB $ 的大小关系是：$ AE $=$ BD $。(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
② 解：如图 2，过点 $ E $ 作 $ EF // BC $，交 $ AC $ 于点 $ F $。
(3)拓展结论，设计新题：在等边三角形 $ ABC $ 中，点 $ E $ 在直线 $ AB $ 上，点 $ D $ 在直线 $ BC $ 上，且 $ ED = EC $。若 $ \triangle ABC $ 的边长为 $ 3 $，$ AE = 1 $，则 $ CD $ 的长为2或4。

答案： 18.
(1)=;
(2)①=,
②
∵EF//BC,
∴∠ABC=∠AEF=60°,∠ACB=∠AFE=60°.
∴△AEF是等边三角形.
∴AE=AF=EF.
∴BE=CF.
∵∠EFC=∠DBE=120°,ED=EC,
∴△EFC≌△DBE.
∴BD=EF=AE.
(3)2或4.