《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

16. （14 分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AE$ 是角平分线，$CD$ 是高，$AE$，$CD$ 相交于点 $F$。
（1）若 $\angle DCB = 40^{\circ}$，求 $\angle CEF$ 的度数；
（2）求证：$\angle CEF = \angle CFE$。

答案： 16.
(1)70°
(2)证明：
∵∠ACB = 90°,CD⊥AB,
∴∠ACD = ∠B.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE = ∠CAE.
∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，
∴∠CFE = ∠ACD + ∠CAE,∠CEF = ∠B + ∠BAE.
∴∠CFE = ∠CEF.

17. （14 分）如图，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$\angle EAD = \angle EDA$。
（1）求证：$\angle EAC = \angle B$。
（2）若 $\angle B = 50^{\circ}$，$\angle CAD : \angle E = 1 : 3$，求 $\angle E$ 的度数。

答案： 17.
(1)证明：
∵AD平分∠BAC,
∴$∠CAD = ∠BAD = \frac{1}{2}∠BAC.$
∵∠EDA = ∠B + ∠BDA,∠EAD = ∠CAD + ∠EAC,∠EDA = ∠EAD,
∴∠B = ∠EAC.
(2)解：由
(1)可知∠EAC = ∠B = 50°,
设∠CAD = x,则∠E = 3x,∠EAD = ∠ADE = x + 50°,
∴50° + x + 50° + x + 3x = 180°.
∴x = 16°.
∴∠E = 3x = 48°.