《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

6. 老师布置的作业中有这样一道题：如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ D $ 为 $ BC $ 的中点，若 $ AC = 3 $，$ AB = 6 $，则 $ AD $ 的长不可能是(A)
思考：甲同学认为 $ AB $，$ AC $，$ AD $ 这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点 $ D $ 出发，构造辅助线，利用全等的知识解决。基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果。

A.5
B.4
C.3
D.2

答案： 6.A

7. 如图，$ AB = 8 cm $，$ \angle A = \angle B = 60° $，$ AC = BD = 6 cm $，点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上以 $ 2 cm/s $ 的速度由点 $ A $ 向点 $ B $ 运动，同时，点 $ Q $ 在线段 $ BD $ 上以 $ x cm/s $ 的速度由点 $ B $ 向点 $ D $ 运动，它们运动的时间为 $ t(s) $。当运动时间是多少秒时，$ \triangle ACP $ 与 $ \triangle BPQ $ 全等？

答案： 7.解：根据题意得$AC = 6\ cm$，$AP = 2t\ cm$，$BQ = tx\ cm$，
则$BP = AB - AP = (8 - 2t)cm$。
$\because \angle A = \angle B = 60^{\circ}$，$\therefore$当$AC = BP$，$AP = BQ$时，$\triangle ACP \cong \triangle BPQ(SAS)$。
即$8 - 2t = 6$，$2t = tx$，解得：$t = 1$，$x = 2$。
当$AC = BQ$，$AP = BP$时，$\triangle ACP \cong \triangle BQP(SAS)$。
即$xt = 6$，$2t = 8 - 2t$，解得$t = 2$，$x = 3$。
综上所述，当运动时间的值是$2\ s$或$3\ s$时，$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等。

8. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 在边 $ BC $ 延长线上，$ \angle ACB = 100° $，$ \angle ABC $ 的平分线交 $ AD $ 于点 $ E $，过点 $ E $ 作 $ EH \perp BD $，垂足为 $ H $，且 $ \angle CEH = 50° $。
（1）求 $ \angle ACE $ 的度数。
（2）求证：$ AE $ 平分 $ \angle CAF $。
（3）若 $ AC + CD = 14 $，$ AB = 8.5 $，且 $ S_{\triangle ACD} = 21 $，求 $ \triangle ABE $ 的面积。

答案：
8.
(1)解：$\because \angle ACB = 100^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$。
$\because EH \perp BD$，$\therefore \angle CHE = 90^{\circ}$。
$\because \angle CEH = 50^{\circ}$，$\therefore \angle ECH = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$。
$\therefore \angle ACE = 80^{\circ} - 40^{\circ} = 40^{\circ}$。

(2)证明：过$E$点分别作$EM \perp BF$于$M$，$EN \perp AC$于$N$，
$\because BE$平分$\angle ABC$，$\therefore EM = EH$。
$\because \angle ACE = \angle ECH = 40^{\circ}$，$\therefore CE$平分$\angle ACD$。
$\therefore EN = EH$。$\therefore EM = EN$。
$\therefore AE$平分$\angle CAF$。
(3)解：$\because AC + CD = 14$，$S_{\triangle ACD} = 21$，$EM = EN = EH$，
$\therefore S_{\triangle ACD} = S_{\triangle ACE} + S_{\triangle CED} = \frac{1}{2}AC \cdot EN + \frac{1}{2}CD \cdot EH = \frac{1}{2}(AC + CD) \cdot EM = 21$，
即$\frac{1}{2} × 14 \cdot EM = 21$，
解得$EM = 3$。
$\because AB = 8.5$，$\therefore S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2}AB \cdot EM = \frac{1}{2} × 8.5 × 3 = \frac{51}{4}$。