《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

7. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂 $AB$ 与操作台 $BC$ 的夹角$\angle ABC = 120^{\circ}$，支撑臂 $BD$ 为$\angle ABC$ 的平分线. 物体被吊起后，机械臂 $AB$ 的位置不变，支撑臂绕点 $B$ 旋转一定的角度并缩短，此时$\angle CBD = 2\angle ABD$，$\angle BDC$ 增大了 $10^{\circ}$，那么$\angle DCE$ 的度数会不会变化？请说明理由.
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答案： 7.解：∠DCE的变化情况为增大30°.
理由如下：起吊物体前，设∠BDC=x，
∵∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°.
∴∠DCE=∠CBD+∠BDC=60°+x；
物体被吊起后，
∵机械臂AB的位置不变，∠CBD=2∠ABD,∠CBD+∠ABD=120°，
∴∠CBD=2∠ABD=80°.
∵∠BDC增大了10°，
∴∠BDC=x+10°.
∴∠DCE=∠CBD+∠BDC=80°+x+10°=90°+x.
∴(90°+x)-(60°+x)=30°.
∴∠DCE的变化情况为增大30°.

8. 已知$\triangle ABC$ 的三边分别为 $a$，$b$，$c$.
（1）若 $a = 1$，$b = 7$，$c$ 为整数，求$\triangle ABC$ 的周长.
（2）化简：$\vert a + b - c\vert - \vert b - a - c\vert + \vert a + b + c\vert$.

答案： 8.解：
(1)
∵△ABC的三边分别为a,b,c，
∴b-a＜c＜b+a.
∵a=1,b=7，
∴6＜c＜8.
∵c为整数，
∴c=7.
∴△ABC的周长为：a+b+c=1+7+7=15.
(2)
∵△ABC的三边分别为a,b,c，
∴a+b＞c,a+c＞b,a+b+c＞0.
∴a+b-c＞0,b-a-c＜0.
∴|a+b-c|-|b-a-c|+|a+b+c|
=a+b-c-[-(b-a-c)]+a+b+c
=a+b-c+b-a-c+a+b+c
=a+3b-c.