《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

9. 如图14.2-47，在平面直角坐标系中，P（4，4）.
（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且PA=PB，
①求证：PA⊥PB.
②求OA+OB的值.
（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且PA=PB，求OA−OB的值.
]

答案：
9.
(1)①证明：如图1,过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
∴PE⊥PF.

∵P(4,4)，
∴PE=PF=4.
在Rt△APE和Rt△BPF，$\begin{cases}PA=PB,\\PE=PF,\end{cases}$
∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL).
∴∠APE=∠BPF.
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°.
∴PA⊥PB.
②解：
∵Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，
∴BF=AE.
∵OA=OE+AE，OB=OF-BF，
∴OA+OB=OE+AE+OF-BF=OE+OF=4+4=8.
(2)解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
同理得Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，
∴AE=BF.
∵AE=OA-OE=OA-4，BF=OB+OF=OB+4，

∴OA-4=OB+4.
∴OA-OB=8.

10. 已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC.
（1）如图甲，若点O在边BC上，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：AB=AC.
（2）如图乙，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC.
（3）若点O在△ABC的外部，小强同学认为AB=AC也一定成立，你同意他的想法吗？若同意，请说明理由；若不同意，请画出反例并进行必要的标注.
]

答案：
10.
(1)证明：连接OA，在Rt△AEO和△AFO中，$\begin{cases}OE=OF,\\OA=OA,\end{cases}$
∴△AEO≌△AFO.
∴AE=AF.
在Rt△OEB和Rt△OFC中，$\begin{cases}OE=OF,\\OB=OC,\end{cases}$
∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL).
∴EB=FC.
∴AE+BE=AF+FC.即AB=AC.
(2)证明：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图1所示：
则OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°，

连接AO，在Rt△AEO和Rt△AFO中，$\begin{cases}OE=OF,\\OA=OA,\end{cases}$
∴△AEO≌△AFO.
∴AE=AF.
在Rt△BOE和Rt△COF中，$\begin{cases}OE=OF,\\OB=OC,\end{cases}$
∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL).
∴BE=CF.
∴AE+BE=AF+FC.即AB=AC.
(3)解：不同意他的想法，理由如下(分两种情况)：
①过点O作OE⊥AB的延长线于点E，
作OF⊥AC的延长线于点F，如图2所示：
理由略.
②过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC的延长线于点F，
连接OA，如图3所示：
则OE=OF，
在Rt△AOE和Rt△AOF中，$\begin{cases}OE=OF,\\OB=OC,\end{cases}$


∴Rt△AOE≌Rt△AOF(HL).
∴AE=AF.
∴AB＞AC.