《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

7. 任意两个奇数的平方差总能(D)

A.被 3 整除
B.被 5 整除
C.被 6 整除
D.被 8 整除

答案： 7.D

8. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如$4 = 2^{2}-0^{2}$，$12 = 4^{2}-2^{2}$，$20 = 6^{2}-4^{2}$，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面数是“神秘数”的是(C)

A.56
B.66
C.76
D.86

答案： 8.C

9. 从前，古希腊的一位庄园主人把一块边长为$a$m（$a＞8$）的正方形土地租给租户约翰，第二年，他对约翰说：“我把这块地一边增加 8 m，另外一边减少 8 m，变成长方形土地，继续原价租给你，你看如何？”若是这样，你认为约翰吃亏了吗？通过计算说明你的结论.

答案： 9.解：约翰吃亏了.理由如下：
原正方形的面积(单位：m²)为a²，
改变边长后面积(单位：m²)为(a + 8)(a - 8)=a² - 64.
∵$a² - 64\lt a²，$
∴约翰吃亏了.

10. 计算：
(1)$(a - 2b)(-2b - a)-(3a + 4b)(-3a + 4b)$；
(2)$(x - \frac{1}{2})(x^{2}+\frac{1}{4})(x + \frac{1}{2})$.

答案： $(1)$ 计算$(a - 2b)(-2b - a)-(3a + 4b)(-3a + 4b)$
解：
根据平方差公式$(m+n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$。
对于$(a - 2b)(-2b - a)$，可变形为$(-2b + a)(-2b - a)$，这里$m=-2b$，$n = a$，则$(-2b + a)(-2b - a)=(-2b)^{2}-a^{2}=4b^{2}-a^{2}$。
对于$(3a + 4b)(-3a + 4b)$，可变形为$(4b + 3a)(4b - 3a)$，这里$m = 4b$，$n = 3a$，则$(4b + 3a)(4b - 3a)=(4b)^{2}-(3a)^{2}=16b^{2}-9a^{2}$。
将上述结果代入原式可得：
$\begin{aligned}&(a - 2b)(-2b - a)-(3a + 4b)(-3a + 4b)\\=&4b^{2}-a^{2}-(16b^{2}-9a^{2})\\=&4b^{2}-a^{2}-16b^{2}+9a^{2}\\=&(9a^{2}-a^{2})+(4b^{2}-16b^{2})\\=&8a^{2}-12b^{2}\end{aligned}$
$(2)$ 计算$(x - \frac{1}{2})(x^{2}+\frac{1}{4})(x + \frac{1}{2})$
解：
根据乘法交换律，先计算$(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2})$，这里$m=x$，$n=\frac{1}{2}$，由平方差公式$(m+n)(m - n)=m^{2}-n^{2}$可得：
$(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2})=x^{2}-(\frac{1}{2})^{2}=x^{2}-\frac{1}{4}$
再计算$(x^{2}-\frac{1}{4})(x^{2}+\frac{1}{4})$，这里$m = x^{2}$，$n=\frac{1}{4}$，由平方差公式可得：
$(x^{2}-\frac{1}{4})(x^{2}+\frac{1}{4})=(x^{2})^{2}-(\frac{1}{4})^{2}=x^{4}-\frac{1}{16}$
综上，$(1)$的结果为$\boldsymbol{8a^{2}-12b^{2}}$；$(2)$的结果为$\boldsymbol{x^{4}-\frac{1}{16}}$。

11. 从边长为$a$的正方形中剪掉一个边长为$b$的正方形(如图 1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图 2).
(1)上述操作能验证的等式是a² - b²=(a + b)(a - b)；(用含$a$，$b$的等式表示)
(2)已知$4a^{2}-24 = b^{2}$，$2a + b = 6$，则$2a - b=$4；
(3)应用所得的公式计算：$2025^{2}-2024×2026$.
(4)应用所得的公式计算：$9×(10 + 1)×(10^{2}+1)×(10^{4}+1)×(10^{8}+1)×(10^{16}+1)+1$.
]

答案： 11.解：
(1)a² - b²=(a + b)(a - b)；
(2)4；
(3)2025² - 2024×2026=2025² - (2025 - 1)×(2025 + 1)=2025² - (2025² - 1²)=2025² - 2025² + 1=1；
(4)9×(10 + 1)×(10² + 1)×(10⁴ + 1)×(10⁸ + 1)×(10¹⁶ + 1)+1
=(10 - 1)×(10 + 1)×(10² + 1)×(10⁴ + 1)×(10⁸ + 1)×(10¹⁶ + 1)+1
=(10² - 1²)×(10² + 1)×(10⁴ + 1)×(10⁸ + 1)×(10¹⁶ + 1)+1
=(10⁴ - 1⁴)×(10⁴ + 1⁴)×(10⁸ + 1)×(10¹⁶ + 1)+1
=(10⁸ - 1⁸)×(10⁸ + 1⁸)×(10¹⁶ + 1)+1
=(10¹⁶ - 1¹⁶)×(10¹⁶ + 1¹⁶)+1
=10³² - 1³² + 1
=10³².