《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

6. 如图，$\triangle ABC$中，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$BE$是$\triangle ABD$的中线。若$\triangle ABC$的面积是$24$，$AB = 5$，$AC = 3$，则$\triangle ABE$的面积是(C)

A.$15$
B.$12$
C.$7.5$
D.$6$

答案： 6.C

7. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$BD$平分$\angle ABC$，$AB = 6$，$BC = 8$，$CD = 4$，则四边形$ABCD$的面积是(B)

A.$24$
B.$28$
C.$32$
D.$56$

答案： 7.B

8. 如图，在$\triangle ABC$与$\triangle AEF$中，$A$，$C$，$E$三点在一条直线上，$\angle AEF+\angle BAF = 180^{\circ}$，$\angle BCE=\angle BAF$，$AB = AF$，若$BC = 24$，$EF = 14$，则$\frac{AC - CE}{AE}$的值为$\frac{1}{6}$。

答案： 8.$\frac{1}{6}$

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$AD$，$CE$分别平分$\angle BAC$，$\angle ACB$，$AD$，$CE$相交于点$P$。
（1）求$\angle CPD$的度数。
（2）若$AE = 3$，$CD = 5$，求线段$AC$的长。

答案：
9.解：
(1)
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠BCA=120°.
∵AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB，
∴$∠PAC+∠PCA=\frac{1}{2}(∠BAC+∠BCA)=60°$.
∴∠APC=120°.
∴∠CPD=180°-120°=60°.
(2)如图,在AC上截取AF=AE=3,连接PF，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
在△APE和△APF中，
$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠EAP=∠FAP, \\ AP=AP, \end{cases}$
∴△APE≌△APF(SAS).
∴∠APE=∠APF.
∵∠APC=120°，
∴∠APE=60°.
∴∠APF=∠CPD=60°=∠CPF.
在△CPF和△CPD中，
$\begin{cases} ∠FPC=∠DPC, \\ CP=CP, \\ ∠FCP=∠DCP, \end{cases}$
∴△CPF≌△CPD(ASA).
∴CF=CD.
∵CD=5，
∴CF=5.
∴AC=AF+CF=3+5=8.