《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

6. 计算：
(1)$(2x + y + 1)(y - 2x - 1)$；
(2)$(2a + b - 3c)^{2}$；
(3)$(2a - 3b)^{2}-(4b - 3a)(3a + 4b)$；
(4)$(m - 2n)^{2}(m + 2n)^{2}$.

答案： 6.
(1)y² - 4x² - 4x - 1
(2)4a² + 4ab + b² + 9c² - 12ac - 6bc
(3)13a² - 12ab - 7b²
(4)m⁴ - 8m²n² + 16n⁴

7. 若$(a^{2}+b^{2}+1)(a^{2}+b^{2}-1)=35$，则$a^{2}+b^{2}$的值为6.

答案： 7.6

8. 阅读下列材料：
已知实数$m$，$n$满足$(2m^{2}+n^{2}+1)(2m^{2}+n^{2}-1)=80$，试求$2m^{2}+n^{2}$的值.
解：设$2m^{2}+n^{2}=t$，则原方程变为$(t + 1)(t - 1)=80$，
整理得$t^{2}-1 = 80$，$t^{2}=81$，
$\therefore t=\pm9$.
$\because 2m^{2}+n^{2}\geq0$，
$\therefore 2m^{2}+n^{2}=9$.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数$x$，$y$满足$(2x^{2}+2y^{2}+3)(2x^{2}+2y^{2}-3)=27$，求$x^{2}+y^{2}$的值；
(2)在(1)的条件下，若$xy = 1$，求$(x + y)^{2}$和$x - y$的值.

答案： 8.解：
(1)设2x² + 2y²=t，
则原方程变形为(t + 3)(t - 3)=27，
整理得：t² - 9=27，
∴t²=36.
解得t=± 6.
∵2x² + 2y²≥ 0，
∴2x² + 2y²=6.
∴x² + y²=3；
(2)
∵x² + y²=3,xy = 1，
∴(x + y)²=x² + y² + 2xy=3 + 2=5.
(x - y)²=x² + y² - 2xy=3 - 2=1.
∴x - y=± 1.