《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

6. 如图15.3-15，在$\triangle ABC$中，$BE$，$CE$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线，$ED// AC$，交$BC$于点$D$，$EF\perp AB$于点$F$. 若$BC = 35$，$EF = 5$，$DE = 13$，则$\triangle EBD$的面积为55.

答案： 6.55

7. 如图15.3-16，已知线段$a$，求作$\triangle ABC$，使$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC$，且分别满足下列条件：
（1）$BC = a$；
（2）$\triangle ABC$的周长等于$a$.
（要求：尺规作图，保留作图痕迹.）

答案：
7.
(1)解:如图1,

(2)解:如图2,

8. 如图15.3-17，在等腰直角三角形$ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$BF$平分$\angle ABC$，$CD\perp BD$交$BF$的延长线于点$D$，试说明：$BF = 2CD$.

答案：
8.解:延长AB,CD相交于点E，
∵BF平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABF.
∵CD⊥BD,
∴∠CDB=∠EDB=90°.
在△BDC和△BDE中,
∠CBD=∠ABF,
BD=BD,
∠CDB=∠EDB,
∴△BDC≌△BDE(ASA).
∴BC=BE,CD=DE.
∴CD=$\frac{1}{2}$CE.
∵∠BAC=∠BDC=90°,∠AFB=∠CFD,
∴∠ABF=∠ACD.
在△ABF和△ACE中,
∠ABF=∠ACD,
AB=AC,
∠BAC=∠CAE,
∴△ABF≌△ACE(ASA).
∴BF=CE.
∴CD=$\frac{1}{2}$BF.
∴BF=2CD.

9. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
（1）问题发现：
如图15.3-18甲，若$\triangle ABC$和$\triangle ADE$是顶角相等的等腰三角形，$BC$，$DE$分别是底边. 求证：$BD = CE$.
（2）解决问题：
如图15.3-18乙，若$\triangle ACB$和$\triangle DCE$均为等腰直角三角形，$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$，点$A$，$D$，$E$在同一条直线上，$CM$为$\triangle DCE$中$DE$边上的高，连接$BE$，请求$\angle AEB$的度数并判断线段$CM$，$AE$，$BE$之间的数量关系，说明理由.

答案： 9.
(1)证明:
∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD.
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
AB=AC,
∠BAD=∠CAE,
AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴BD=CE.
(2)解:∠AEB=90°,AE=BE+2CM,
理由如下:由
(1)的方法得,△ACD≌△BCE，
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°.
∴∠ADC=180°−∠CDE=135°.
∴∠BEC=∠ADC=135°.
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135°−45°=90°.
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME.
∵∠DCE=90°,
∴DM=ME=CM.
∴DE=2CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.