《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

11. 如图15.3-9，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是$AB$上一个动点，$DF\perp BC$于点$F$，交$CA$延长线于点$E$，
（1）试判断$\angle AED$，$\angle ADE$的大小关系，并说明理由；
（2）当点$D$在$BA$的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由.

答案：
11.解:
(1)∠AED=∠ADE;理由:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DF⊥BC,
∴∠BDF+∠B=90°,∠C+∠E=90°.
∴∠E=∠BDF.
又
∵∠BDF=∠ADE,
∴∠AED=∠ADE;
(2)成立;
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DF⊥BC,
∴∠BDF+∠B=90°,∠C+∠FEC=90°.
∴∠FEC=∠BDF.
又
∵∠FEC=∠AED,
∴∠ADE=∠AED.

12. 已知在$\triangle ABC$中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”. 如图15.3-10，$\triangle ABC$为“等直三角形”，$\angle ABC = 110^{\circ}$，则$\angle A$的度数为45°或50°或20°或25°.

答案： 12.45°或50°或20°或25°

13. 如图15.3-11甲，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，点$D$在底边$BC$上，$AE = AD$，连接$DE$.
(1)当$\angle BAD = 60^{\circ}$时，则$\angle CDE$的度数为30°.
(2)当点$D$在$BC$(点$B$，$C$除外)上运动时，试猜想并直接写出$\angle BAD$与$\angle CDE$的数量关系：∠BAD=2∠CDE.
(3)若$\angle BAC\neq 90^{\circ}$，试根据图乙探究$\angle BAD$与$\angle CDE$的数量关系.

答案： 13.
(1)30°　
(2)∠BAD=2∠CDE
(3)解:设∠CDE=x,∠C=y,
∵AB=AC,∠C=y,
∴∠B=∠C=y.
∵∠CDE=x,
∴∠AED=y+x.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=y+x.
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,
∴y+∠BAD=y+x+x.
∴∠BAD=2∠CDE.