《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

8. 如图15.3-38，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 8$. 若点$D$在直线$AB$上(不与点$A$，$B$重合)，且$\angle BCD = 30^{\circ}$，则$AD$的长为6或12.

答案： 8.6或12

9. 如图15.3-39，$\angle AOB = 30^{\circ}$，$OC$平分$\angle AOB$，$P$为$OC$上一点，$PD// OA$交$OB$于$D$，$PE\perp OA$于$E$. 若$OD = 4\ cm$，求$PE$的长.

答案： 9.提示:作PF⊥OB交点为F,可求得PE=PF=2cm.

10. 如图15.3-40，$\triangle ABC$为等边三角形，$AE = CD$，$AD$，$BE$相交于点$P$，$BQ\perp AD$于点$Q$，$PQ = 3$，$PE = 1$.
（1）求证：$AD = BE$.
（2）求$AD$的长.

答案： 10.
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA=BC,∠BAE=∠ACD=60°.
在△ABE和△CAD中，
AB=CA,
∠BAE=∠ACD=60°,
AE=CD,
∴△ABE≌△CAD(SAS).
∴AD=BE.
(2)解:
∵△ABE≌△CAD,
∴∠CAD=∠ABE.
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°.
∵BQ⊥AD,
∴∠AQB=90°.
∴∠PBQ=90°−60°=30°.
∵PQ=3,
∴在Rt△BPQ中,BP=2PQ=6.
又
∵PE=1,
∴AD=BE=BP+PE=6+1=7.