《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

13. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是△ABC 的角平分线，它们相交于点 O，BF 与 AD 交于点 G，∠C = 70°。
(1)∠AOB 的度数为125°；
(2)若∠ABC = 60°，求∠AGB 的度数。

答案： 13.
(1)125°
(2)解：
∵在△ABC中,AD是高,∠C=70°,∠ABC=60°,
∴∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°,∠BAC=180°-∠ABC-∠C=50°.
∵AE是△BAC的角平分线,
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=25°.
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=25°-20°=5°.
又
∵∠AOB=125°,
∴∠AGB=∠AOB-∠DAE=125°-5°=120°.

14. 在△ABC 中，∠BAC = α，∠ACB = β。
（1）如图甲，若 AP 平分∠BAC，BP，CP 分别平分△ABC 的外角∠CBM 和∠BCN，BD⊥AP 于点 D。
①用α的代数式表示∠BPC 的度数；
②用β的代数式表示∠PBD 的度数。
（2）如图乙，若点 P 为△ABC 的三条内角平分线的交点，且 BD⊥AP 于点 D。
①请补全图形；
②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请写出正确的结论。

答案：
14.解：
(1)①如图1,
∵BP,CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN,
∴∠PBC=∠PBM=$\frac{1}{2}$∠CBM=$\frac{1}{2}$(α+β),∠1=$\frac{1}{2}$∠BCN=$\frac{1}{2}$(180°-β).
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠1=180°-$\frac{1}{2}$(α+β)-$\frac{1}{2}$(180°-β)=90°-$\frac{1}{2}$α.
②在Rt△PBD中,∠PBD=90°-∠BPD,
∵∠BPD=∠PBM-∠2=$\frac{1}{2}$(α+β)-$\frac{1}{2}$α=$\frac{1}{2}$β,
∴∠PBD=90°-$\frac{1}{2}$β.
(2)①如图2.
②中两个结论发生了变化,∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$α;∠PBD=$\frac{1}{2}$β.