《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

9. 如图 15.1 - 26，Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，AE = 2BE 分别以顶点 A，C 为圆心，大于 $\frac{1}{2}AC$ 的长为半径画弧，两弧分别相交于点 M 和点 N，作直线 MN 分别与 BC，AC 交于点 E 和点 F；以点 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 H 和点 G，再分别以点 H，点 G 为圆心，大于 $\frac{1}{2}HG$ 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP，若射线 AP 恰好经过点 E，则下列四个结论：①∠C = 30°；②AP 垂直平分线段 BF；③CE = 2BE；④$S_{△BEF} = \frac{1}{6}S_{△ABC}$.其中，正确结论的个数有(D)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 9.D

10. 如图 15.1 - 27，已知△ABC，请用尺规作图法在边 AC 上求作一点 P，连接 BP，使得∠APB = 2∠C.(保留作图痕迹，不写作法)
]

答案：
10.解：如图，点P即为所求作.

11. 如图 15.1 - 28，AB 是线段，AD 和 BC 是射线，AD//BC.
(1)尺规作图：作 AB 的垂直平分线 EF，垂足为 O，且分别与射线 BC，AD 相交于点 E，F(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)条件下，连接 AE，求证：AE = AF.
]

答案：
11.
(1)如图1.
(2)如图2，连接AE
∵AD//BC，
∴∠EBA=∠BAF.
∵EF是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，∠AOE=∠AOF=90°.
又
∵OE=OE，
∴△EAO≌△EBO.
∴∠EBA=∠EAB，
∴∠BAF=∠EAB.
在△AOE和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FAO,\\ AO=AO,\\ ∠AOE=∠AOF,\end{array}\right.$

∴△AOE≌△AOF(ASA).
∴AE=AF.