《2025年自主学习指导课程与测试八年级数学上册人教版》

7. 计算：$ (2a + b)(2a - b) - (a - b)^{2} = $3a^{2}+2ab-2b^{2}.

答案： $7.3a^{2}+2ab-2b^{2}$

8. 如图，某居民小区准备修建一块长为$ (3a + 2b) $米，宽为$ (2a + b) $米的长方形健身广场，广场内有一个边长为$ 2a $米的正方形活动场所，其余地方为绿化带.
(1) 用含$ a,b $的代数式表示绿化带的总面积.(结果写成最简形式).
(2) 若$ a = 10 $，$ b = 5 $，求出绿化带的总面积.

答案： $8.(1)(2a^{2}+7ab+2b^{2})$平方米
(2)把a=10,b=5代入，
得$2a^{2}+7ab+2b^{2}=2×10^{2}+7×10×5+2×5^{2}=600($平方米)，
答:广场上绿化带的总面积是600平方米.

9. 先化简，再求值：$ 2(x - 5)(x + 1) + (x - 3)^{2} - (3 - x)( - x - 3) $，其中$ x = - 1 $.

答案： 9.解$:2(x-5)(x+1)+(x-3)^{2}-(3-x)(-x-3)$
$=2(x^{2}-4x-5)+(x^{2}-6x+9)-(x^{2}-9)$
$=2x^{2}-8x-10+x^{2}-6x+9-x^{2}+9$
$=2x^{2}-14x+8，$
当x=-1时,原式=2+14+8=24.

10. 在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用$ (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} $，能够在三个代数式$ a + b $，$ ab $，$ a^{2} + b^{2} $中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值.
请根据以上信息，解答下列问题：
(1) 已知$ a - b = 2 $，$ a^{2} + b^{2} = 17 $，则$ ab = $\frac{13}{2}；
(2) 如图，已知两个正方形的边长分别为$ a,b $，若$ a + b = 6 $，$ ab = 9 $，求图中阴影部分的面积.
(3) 若$ (2025 - x)(x - 2024) = - 5 $，求$ (2025 - x)^{2} + (x - 2024)^{2} $的值.

答案： 10.解$:(1)\frac{13}{2}；$
(2)根据题意可得:图中阴影部分的面积$=a^{2}-2×\frac{1}{2}b(a-b)=a^{2}+b^{2}-ab.$
根据题意,得$(a+b)^{2}=6^{2}，$即$a^{2}+2ab+b^{2}=36.$
∵ab=9,
∴$a^{2}+b^{2}+2×9=36.$即$a^{2}+b^{2}=18.$
∴图中阴影部分的面积=18-9=9.
(3)解:令2025-x=m,x-2024=n,则m+n=2025-x+x-2024=1,
∵(2025-x)(x-2024)=-5,
∴mn=-5.
∴$(2025-x)^{2}+(x-2024)^{2}=m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn=1^{2}-2×(-5)=11.$